寒假作业三 等式性质与不等式性质、基本不等式-【我的假期我做主】2022年新教材高一数学（人教A版）寒假作业

　　虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认 形:一定的虚构假设足以解释许多现象．———欧拉３６ 寒假作业三　等式性质与不等式性质、基本不等式 知识梳理 １．(１)a＞b　(２)a＝b　(３)a＜b ３．a２＋b２≥２ab　a＝b　 ab≤a＋b２ 　 不小于 ４．大　小 学业测评 １．A　M－N＝ x ２ x＋２y－ ４(x－y) ５ ＝ x２＋８y２－４xy ５(x＋２y) ＝ x２＋４y２－４xy＋４y２ ５(x＋２y) ＝ (x－２y)２＋４y２ ５(x＋２y) ＞０ ,∴M＞N． ２．B　A．显然当a＜０,b＞０时,不等式a２＋b２≤２ab不成立,故 A错误; B．∵(a＋b)２≥０,∴a２＋b２＋２ab≥０,∴a２＋b２≥－２ab,故B正确; C．显然当a＜０,b＜０时,不等式a＋b≥２ |ab|不成立,故 C错误; D．显然当a＞０,b＞０时,不等式a２＋b２≤－２ab不成立,故 D错误． ３．AC　根据a＞０,b＞０,a＋b＝２,取a＝b＝１,则B、D不成立,因本题为 多选题,故 A、C正确． ４．B　因为正数a,b满足ab＝１０, 则２a＋５b≥２ １０ab＝２０,当且仅当２a＝５b且ab＝１０即a＝５,b＝２ 时取等号． ５．AD　正实数a,b满足a＋b＝１,即有a＋b≥２ ab可得０＜ab≤ １４ , 即有 １ a ＋ １ b ＝ １ ab≥４ ,即有a＝b时,１a ＋ １ b 取得最 小 值 ４,故 A 正确; 由０＜ ab≤ １２ ,可得 ab有最大值 １２ ,故B错误; 由 a＋b＝ a＋b＋２ ab＝ １＋２ ab≤ １＋２× １２ ＝ ２ , 可得a＝b时,a＋b取得最大值 ２,故 C错误, 由a２＋b２≥２ab可得２(a２＋b２)≥(a＋b)２＝１, 则a２＋b２≥ １２ ,当a＝b＝ １２ 时,a２＋b２ 取得最小值 １２ ,故 D正确． 综上可得 A、D正确,B、C均错． ６．B　∵xy＞０,且x＋y＝２,∴x＞０,y＞０, ∴ ４x ＋ m y ＝ １ ２ ４ x ＋ m y( )(x＋y)＝ １ ２ ４＋m＋ ４y x ＋ mx y( ) ≥ １ ２ ４＋m＋２ ４y x 􀅰mx y( )＝ １ ２ (４＋m＋２ ４m),当且仅当４yx ＝ mx y 即 mx＝２y时,等号成立, ∵不等式 ４x ＋ m y ≥ ９ ２ 恒成立,∴ １２ (４＋m＋２ ４m)≥ ９２ ,化简得, m＋４ m－５≥０, 解得 m≥１,即m≥１,∴m 的取值范围是[１,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．解析:因为a＞０,b＞０,p＝b ２ a －a 与q＝b－a ２ b , 所以p－q＝b ２－a２ a － b２－a２ b ＝ (b２－a２)(b－a) ab ＝ (b－a)２(b＋a) ba ≥０ , b＝a时取等号,所以p≥q． 答案:p≥q ８．解析:∵a２＋２－２a＝(a－１)２＋１＞０,∴a２＋２＞２a,故①恒成立; ∵a２＋b２－２(a－b－１)＝(a－１)２＋(b＋１)２≥０,∴a２＋b２≥２(a－b－ １),故②恒成立; 又∵当a＝b＝－１时,a＋b２ ＜ ab ,故③不恒成立． 答案:①② ９．解析:由x＞３,可得x－３＞０, 所以 ２x ２ x－３＝ ２(x－３)２＋１２(x－３)＋１８ x－３ ＝２ (x－３)＋ １８x－３＋１２≥ ２ ２(x－３)􀅰 １８x－３＋１２＝２４ , 当且仅当２(x－３)＝ １８x－３ ,即x＝６时取等号． 答案:２４ １０．解析:１２b＋ ８ a＋b＝ １ ２b＋ ８ a＋b( )(a＋b＋b)＝８＋ １ ２ ＋ a＋b ２b ＋ ８b a＋b≥ １７ ２ ＋２ a＋b ２b × ８b a＋b＝ ２５ ２ , 当且仅当a＋b ２b ＝ ８b a＋b 时取得最小值． 答案:２５ ２ １１．解析:(１)因为a＞０,b＞０,且a＋b＝２, 所以b(１＋a)≤ b＋１＋a２( ) ２ ＝ ９４ , 当且仅当b＝１＋a且a＋b＝２即a＝ １２ ,b＝ ３２ 时取得最大值 ９ ４ ． (２)因为正数x,y,满足２x＋y＝４, 所以 １ x ＋ １ y ＝