6.3.4空间距离的计算（备作业)-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.4空间距离的计算 一、单选题 1．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由点到平面距离的向量法计算． 【详解】 ， 所以点到平面的距离为． 故选：C． 2．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， 设与的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，，即， 又， 所以异面直线与之间的距离为． 故选：D． 3．已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，用空间向量求解 【详解】 由正方体的性质，∥,∥，，， 易得平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． 连接，由，，且，可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离． 故选：D 4．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可 【详解】 由已知得， 因为直线l的方向向量为， 所以点到直线l的距离为 故选：D 5．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】 设平面的法向量为，根据向量的坐标运算求出，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】 设平面的法向量为，则所以， 令，则，，所以以是平面的一个法向量． 点到平面的距离，故该三棱柱的高为． 故选：B 6．如图，若正四棱柱的底边长为1，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，根据正四棱柱的底边长为1，且，求得正四棱柱的高，再求得平面EAC的一个法向量 ，将到平面EAC的距离转化为点到平面EAC的距离，由求解. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 因为正四棱柱的底边长为1，且， 所以， 则， 所以 ， 设平面EAC的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 因为，且平面EAC， 平面EAC， 所以平面EAC， 所以到平面EAC的距离即为点到平面EAC的距离， 即， 故选：D 7．如图，正方体的棱长为2，点在上，点在上，且，面，则的长为（ ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 根据几何体为正方体，先以为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据平面，得与平面的法向量垂直，利用垂直关系的坐标表示，求出点的坐标，进而求得的长. 【详解】 因为该几何体为正方体，所以以为坐标原点， 为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，所以，， 平面的一个法向量为. 因为点在上，且，所以点. 因为点在上，所以设，则， 因为平面，所以， 有，，故， . 故选：A. 二、填空题 8．的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于________. 【答案】 【分析】 推导出,,边上的高：,由此能求出结果. 【详解】 的顶点分别为,,, ∴,, ∴边上的高： . 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角形的高的求法,考查点到直线的距离公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 9．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________． 【答案】 【分析】 以底面中心为原点建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求出侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】 如图，以底面中心为原点建立空间直角坐标系， 则，，1，，，1，，，0，， 设平面的方程为， 将坐标代入计算得 解得，，， ， 即， ． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题． 10．如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】 以，，为坐标轴建立空间坐标系，设，根据，得到，取的中点，连结，则点轨迹为线段，过作，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】 以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 则，，， 设，则，， ∵，∴，即． 取的中点，连结，则点轨迹为线段，过作， 则． 又平面，故， ∴的最小值为． 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查空间几何中