6.3.1直线的方向向量与平面的法向量（备作业)-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量 一、单选题 1．已知向量，，则平面的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设平面的法向量为，根据，即可求解. 【详解】 设平面的法向量为， 则 ，令，可得， 即平面的法向量为. 故选：D. 2．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求得，然后根据向量共线确定正确选项. 【详解】 由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量. A选项中的向量与不共线，所以不是直线的方向向量. 故选：A 3．过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出平面的法向量为，利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果. 【详解】 ，． 设平面的法向量为． 由题意知，， 所以，解得， 令，得平面的一个法向量是． 故选：A 4．，都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是（ ）． A． B． C．与同向 D．与反向 【答案】A 【分析】 根据直线的方向向量的概念，得到向量，是共线向量，即可求解. 【详解】 由题意，向量，都是直线l的方向向量， 根据直线的方向向量的概念，可得向量，是共线向量，即. 故选：A. 5．已知平面内有一个点，平面的一个法向量是，则下列点中，在平面内的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 因为点、在平面内，平面的一个法向量为，则逐项验证即可得到选项. 【详解】 由题意可知：则 若，，故A符合题意； 若，，故B不符合题意； 若，，故C不符合题意； 若，，故D不符合题意； 故选：A 6．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 【答案】B 【分析】 设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案． 【详解】 解：设正方体的棱长为2，则，， ∴， 设向量是平面的法向量， 则取，得， 则是平面的一个法向量， 结合其他选项，只需和共线即可， 检验可知，ACD选项均不与共线. 所以能作为平面的法向量只有选项B 故选：B． 二、多选题 7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 由直棱柱的性质可知侧棱与底面垂直，从而可得答案 【详解】 因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱， 所以平面 ，平面， 所以和可以作为平面ABC法向量， 故选：BC 8．在正方体中，下列结论正确的有（ ） A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量 C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可. 【详解】 如图， 由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面， 平面，所以ABD正确， 因为与所成的角为60°，所以C不正确， 故选：ABD 三、填空题 9．已知直线的方向向量为，且直线经过点和点，则___________，___________. 【答案】 【分析】 先求出的坐标形式，再利用平行关系列式求解. 【详解】 解：因为，所以，解得，. 故答案为：-3；3. 10．已知平面内的两个向量，，且.若为平面的法向量，则的值为___________. 【答案】2 【分析】 由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即求. 【详解】 ， 由为平面的法向量，得，即，解得． 故答案为：2. 11．已知点，，，，若在平面内存在点，使得平面，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 首先设点的坐标，结合已知条件利用向量的数量积可得到关于，，的两个关系式，然后再利用平面法向量求出第三个关于，，的关系式即可求解. 【详解】 不妨设点的坐标，平面的法向量为， 因为，，，， 所以，，，， 因为平面，所以，， 所以，即 ①， 又由， 不妨令，则，，故可以取， 从而，即 ②， 联立①②可得，，，， 故点的坐标为. 故答案为：. 12．已知是直线的方向向量，是直线的方向向量．若直线，则________． 【答案】 【分析】 由，则，从而可得出的值，得出答案. 【详解】 由，则 由， 则，解得 所以 故答案为： 四、解答题 13．已知，，． （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据直线方向向量的求法求得正确答案. （2）由来求得满足的关系式. （1） 直线的一个