5.8专项 数列的通项和求和-【练好重点题】2021-2022学年高二数学综合训练卷（人教B版2019选择性必修第三册）

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 第五章 数列 专项 数列的通项和求和 1．已知数列{an}满足an+1﹣an＝3，且a1，a5，a8成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值． 【解答】解：（1）∵an+1﹣an＝3， ∴数列{an}的公差为3， 故an＝a1+3（n﹣1）， 又∵a1，a5，a8成等比数列， ∴（a1+12）2＝a1（a1+21）， 解得a1＝﹣48， 故an＝a1+3（n﹣1）＝3n﹣51； （2）由题意得，Sn取最小值时，即an变号时， 令an＝3n﹣51＝0得，n＝17； 故Sn的最小值为S16＝S17＝﹣408； 此时n的值为16或17． 2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（n∈N*）． （1）求a1，a2； （2）求证：数列{an}是等差数列． 【解答】（1）解：∵正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（n∈N*）， 令n＝1，可得 a1，∴a1＝1． 再令n＝2，可得1+a2，求得a2＝3 或﹣1 （舍去）， 即a2＝3． （2）证明：∵a1＝1，Sn（an+1）2（n∈N*）， ∴当n≥2时，Sn﹣1（an﹣1+1）2， ∴Sn﹣Sn﹣1＝an（an+1）2（an﹣1+1）2， 化简得（an+an﹣1）•（an﹣an﹣1﹣2）＝0． ∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2（n≥2）． ∴an＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1， ∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a5﹣a1＝90，S4＝90． （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}中，满足bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）记等比数列{an}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1， ，， 解得a1＝6，q＝2，所以数列{an}的通项公式为． （2）∵， ∴ ＝3n•log23＝3×2n+1n•log23﹣6． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝a1，bn+1＝2an+3bn，求{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1，① ∴S1＝2a1﹣1⇒a1＝1， 当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，② ①﹣②整理得：an＝2an﹣1， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝2n﹣1， （Ⅱ）∵数列{bn}满足b1＝a1，bn+1＝2an+3bn， ∴bn+1＝2n+3bn⇒bn+1+2n+1＝3（bn+2n）， 又b1+21＝3， ∴{bn+2n}以3为首项，3为公比的等比数列， ∴bn+2n＝3n， ∴bn＝3n﹣2n， ∴{bn}的前n项和Tn＝（31﹣21）+（32﹣22）+......+（3n﹣2n）2n+1． 5．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝8，an+2＝4an+1﹣3an． （1）求数列{an+1﹣an}的通项公式； （2）求{an}的通项公式． 【解答】解：（1）∵an+2＝4an+1﹣3an． ∴an+2﹣an+1＝3an+1﹣3an＝3（an+1﹣an）， 即3， 即数列{an+1﹣an}是公比q＝3的等比数列，首项为a2﹣a1＝8﹣2＝6， 则an+1﹣an＝6•3n﹣1＝2•3n， 即数列{an+1﹣an}的通项公式为an+1﹣an＝2•3n． （2）∵an+1﹣an＝2•3n， ∴a2﹣a1＝2•3， a3﹣a2＝2•32， a4﹣a3＝2•33， … an﹣an﹣1＝2•3n﹣1， 等号两边同时相加得： an﹣a1＝2•3+2•32+⋯+2•3n﹣13（1﹣3n﹣1）＝﹣3+3n， 即an＝a1﹣3+3n＝2﹣3+3n＝3n﹣1． 6．已知等差数列{an}满足a2＝7，a7+a9＝38，{an}的前n项和为Sn． （1）求an及Sn； （2）求数列的前n项和Tn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，而a7+a9＝2a8＝38， 则a8＝19， 于是得， 解得， 则有an＝a1+（n﹣1）d＝2n+3， ， 所以an＝2n+3，； （2）由（1）知an＝2n+3， 故， 因此，， 所以． 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝Sn+1（n∈N*），数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝2an+bn． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足cn，求证：c1+c2+⋯+cn． 【解答】解：（1）a1＝1，an+1＝Sn+1（n∈N*