专题9.5 中心对称与中心对称图形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.5 中心对称与中心对称图形（知识讲解） 【学习目标】 1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系； 2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标； 3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 【要点梳理】 要点一、中心对称和中心对称图形 1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 要点二、关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 要点三、中心对称、轴对称、旋转对称 1.中心对称图形与旋转对称图形的比较： 2.中心对称图形与轴对称图形比较： 特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提. 【典型例题】 类型一、中心对称 1、如图，与关于点O成中心对称，请你写出两个三角形的对应点、对应线段、对应角和对称中心． 【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可． 解：对称中心为点O； 对应点分别是：A和D，B和E，C和F； 对应线段分别是：和，和，和； 对应角分别是：和，和，和． 【点拨】本题考查了中心对称的性质及定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 举一反三 【变式1】如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，与ACD关于点D成中心对称． （1）直接写出图中所有相等的线段． （2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用中心对称的两个三角形全等解决问题即可． （2）求出AA′的取值范围，可得结论． 解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称 ∴△A′BD≌△ACD， ∴，，． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． 在中，， 即． ∴． 【点拨】本题考查中心对称，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，利用全等三角形的性质解决问题． 【变式2】如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC； ①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1， ②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． 【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质． 解： 将A、B、C按平移条件找到它的对应点A1 、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，就得到平移后的图形． 成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可． 【点拨】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质． 平移作图步骤： (1)分析题目要求，找出平移的方向和距离． (2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点． (3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点． (4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母． 中心对称的性质： (1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． (2)关于中心对称的两个图形是全等图形． 类型二、根据中心对称画图 2．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O的中心对称图形： （2）画出将绕点O逆时针方向旋转90°后的图形． （3）求的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的