专题10 反比例函数-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）

专题10 反比例函数 【母题来源】2021年中考广东广州卷 【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）． 【母题来源】2021年中考广东深圳卷 【母题题文2】（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为________． 【母题来源】2021年中考广东广州卷 【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【母题来源】2021年中考广东卷 【母题题文4】（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为． （1）求m的值； （2）若，求k的值． 【母题来源】2021年中考广东卷 【母题题文5】（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍． （1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）． （2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路： 设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么， ①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达； ③请直接写出当结论成立时k的取值范围：． 反比例函数的概念 定义 形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是________ 关系式 y＝或y＝kx－1或xy＝k(k≠0) 防错提醒 (1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0 反比例函数的图象与性质 (1) 反比例函数的图象 呈现形式 反比例函数y＝ (k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x (2)反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 性质 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 在每个象限内y随x增大而减小 k<0 二、四象限 (x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大 (3)反比例函数比例系数k的几何意义 k的几何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k| 推导 如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k| 拓展 过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 反比例函数的应用 求函数 关系式 方法步骤 利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝； ②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值； ③写出关系式 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数关系式组成的方程组 题型、技巧归纳 考点1：反比例函数的概念 技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立． 考点2：反比例函数的图象与性质 技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题． 考点3反比例函数的应用 技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y＝的图象上的