第02课 二次根式的乘除-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第02课 二次根式的乘除 ( 目标导航 ) 课程标准 1、 掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的乘法法则 （1）计算法则： （）即：二次根式相乘，把 相乘，根指数 ； （2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为 这一条件。 （3）推广 ① （a≥0，b≥0，c≥0）； ② ； ③ 和 在二次根式的乘法中任然可应用。 (3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如. 知识点02二次根式乘法法则的逆用 （1）计算法则： （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的 利用这个性质可以把二次根式 ，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或 ，然后再将能 的因式或因数开方后移到根号外。 注： （1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。 （2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广：= （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0） 知识点03二次根式的除法法则 计算公式： （a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把 相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含 的因数或因式，同时分母中不含 。 知识点04 二次根式除法法则的逆用 （1） （a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的 除以除式的 。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为 。 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成 。 常见的二次根式化简：① ；② ③ 知识点05最简二次根式的概念 概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式。 注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： （1）被开方数中不含分母，因此被开方数 或 ； （2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 。 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 = ，= 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数 化成 = 或= 若被开方数中含有小数，应先将小数 化成 = 或= 被开方数是多项式的要先进行因式分解 = 拓展： 分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。 分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。 常用的有理化因式有：与；与；与；+与 ；a+c与 等。 ( 能力拓展 ) 考法01 二次根式乘除法法则成立的条件 【典例1】等式＝成立的条件是( ) A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1 【即学即练】等式成立的条件是_____． 【即学即练】如果代数式，那么m的取值范围是_____________ 【典例2】下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 【即学即练】下列结论中，对于实数、，成立的个数有（ ） ①；  ②；   ③；