第六章 平面向量及其应用 专题4 实际问题中的正、余弦定理的应用-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 专题4 实际问题中的正、余弦定理的应用 解决实际问题中的正弦定理、余弦定理的应用问题，关键是读懂题意，将所求问题转化为三角形中的角度、边长问题，利用正弦定理、余弦定理求解。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 距离问题 例1：（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学高一月考）如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 、【详解】 在中，，，故， 由正弦定理，得， 在中，，， 故为等腰直角三角形，且，， 在中，，，， 由余弦定理可得（米）. 故选：B. 【变式1】（2021·安徽宣城·高一期中）如图，为了测量、两岛屿的距离，海洋测量船在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，海洋测量船往正东方向行驶海里至处，观测到在C处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则，两岛屿的距离为（ ） A．20海里 B．海里 C．海里 D．10海里 【答案】B 、【详解】 由题意知，，，，，， 在三角形中，，所以， 在直角三角形中，， 在三角形中，. 即，两岛屿的距离为海里. 故选：B. 【变式2】（2021·广东·洛城中学高一月考）一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行一小时后，看见一灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的航行速度是（ ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【详解】 如下图所示，由题意有，，故， 所以，，所以，， 在中，，所以，， 因此，这艘船的航行速度是海里/时. 故选：B. 【变式3】（2021·全国·高一课时练习）如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），B，D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC=1km，求点B，D间的距离. 【答案】km 【详解】 （方法一）在△ACD中，∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°. 由正弦定理得AD=. 在△ABC中，∠ABC=75°-60°=15°，∠ACB=60°， 由正弦定理，得AB=. 在△ADB中，∠BAD=180°-75°-30°=75°， 由余弦定理，得BD= =. 即点B，D间的距离为km. （方法二）如图，过点D作DH垂直于水平线于点H，过点B作BE垂直于水平线于点E，记AD与BC的交点为M. 由外角定理，得∠CDA=∠DCH-∠DAC=60°-30°=30°， 且∠DAC=∠DCH-∠CDA=30°，所以AC=DC， 又易知∠MCD=∠MCA=60°，所以△AMC≌△DMC， 所以M为AD的中点，所以BA=BD. 又AB=， 所以BD=. 所以点B，D间的距离为km. 【痛点直击】用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的距离问题，应先由实际问题画出图形，将距离转化为三角形的一边长度问题，然后由正弦定理、余弦定理来解三角形即可求得。 类型二 高度问题 例2.（2021·广西百色·高一期末）夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作，为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据.是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的处测得坝顶的仰角为对着大坝在水平地面上前进后到达处，测得坝项的仰角为继续对着大坝在水平地面上前进后到达坡底处，测得坝项的仰角为则该大坝的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，得：，， ∴，， ∴，即， ∴，即， 故选：C. 【变式1】（2021·山西省长治市第二中学校高一期末）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：在直角三角形中，． 在中，，， 故， 由正弦定理，， 故． 在直角三角形中，． 故选：D． 【变式2】（2021·福建省福州第一中学高一期中）某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB；高为m.在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A以及天象馆顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处