第六章 平面向量及其应用 专题3 利用正、余弦定理解三角形-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 专题3 利用正、余弦定理解三角形 正弦定理、余弦定理每年高考必考，三角函数的解答题多数是在三角形中命题，一般先用正弦定理或余弦定理边角互化，然后结合三角函数的公式或三角函数的性质求解。从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 用余弦定理解三角形 例1：（2021·全国·高一课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4accos2＝a2+c2﹣b2． （1）求B； （2）若c＝3，且AC边的中线BM＝，求a的值． 【答案】（1） ；（2） a＝1． 【详解】 解：（1）∵4accos2 ＝a2+c2﹣b2． ∴4accos2 ＝4ac（ ）＝a2+c2﹣b2．可得：b2＝a2+c2+2accosB﹣2ac， ∵由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB， ∴2accosB﹣2ac＝﹣2accosB，可得：cosB＝ ， ∵B∈（0，π）， ∴B＝． （II）∵c＝3，AC边的中线BM＝， ∴由中线长定理可得：32+a2＝2[（ ）2+（）2]， ∴整理可得：b2＝2a2+5， 又∵B＝，由余弦定理可得：b2＝a2+9﹣3a， ∴2a2+5＝a2+9﹣3a，整理可得：a2+3a﹣4＝0，解得：a＝1或﹣4（舍去）． 【变式1】（2021·全国·高一课时练习）设向量，在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且. （1）求角C； （2）若，边长，求的周长l和面积S的值. 【答案】（1）；（2）周长为，面积. 【详解】 （1）由已知可得，所以，所以. （2）由题意可知， 可得，所以， 由余弦定理可知， 则，即， 故周长为，面积. 【变式2】（2021·全国·高一课时练习）在中，，且周长为30，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，由正弦定理可得， 设， 又因为的周长为，可得，解得， 所以， 由余弦定理，可得， 所以， 所以的面积为. 故选：D. 【变式3】（2021·全国·高一课时练习）△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】 解：因为△ABC的面积是，，a＝2c， 所以，解得，可得， 由余弦定理可得. 故选：C. 【痛点直击】已知三角形的两边和一角、三边可用余弦定理来解三角形，当条件中有边的平方时，可选择用余弦定理来解三角形。 类型二 已知两边一对角用正弦定理解三角形 例2.（2021·广东·江门市新会第二中学高一月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． 【答案】B=60o时，A=90o，a=；B=120o时，A=30o，a=c= 【详解】 在△ABC中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为， 所以或， 当时，， . 当，， 所以△ABC为等腰三角形，所以. 【变式1】（2021·贵州大学附属中学高一月考）在中，已知，，，解此三角形． 【答案】，，． 【详解】 中，∵，，， ∴由正弦定理得：， ∵，∴， ∴，． 【变式2】（2021·全国·高一课时练习）在中，已知，求边b. 【答案】或 【详解】 解：因为， 所以， 因为，所以或. 当时，； 当时，. 所以或. 【变式3】（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）在中，若则（ ） A．15°或105° B．45°或105° C．15° D．105° 【答案】A 【详解】 由得， 因为，所以，又为三角形内角 所以或，由内角和为 可得或 故选：A 【痛点直击】已知三角形的两边一对角用正弦定理解三角形时，求出另一对角的正弦值后，应根据两边的大小，判断两角的大小，进而判断该角有几个解。 类型三 用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 例3.（2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】 利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断. 【详解】 ∵，由正弦定理得， 即 ∴，即， 又∵，∴，∴. ∴是等腰三角形. 【变式1】（2021·安徽·合肥艺术中学 高一月考）已知，，分别为内角，，的对边，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【详解】 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即 在中，因为，所以， 所以，即， 因为在中，， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式2】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则是三角形_____