第六章 平面向量及其应用 专题2 平面几何中的向量方法-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 专题2 平面几何中的向量方法 平面向量可以解决平面几何中的夹角、垂直、平行、距离等问题。实际也可理解为用代数方法解决几何问题。平面向量的有关运算有线性运算、坐标运算。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 用平面向量解决垂直问题 例1：（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】 ，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 【变式1】（2021·云南省南涧县第一中学高一月考）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B 【详解】 解：延长AC，使得AC=CD， 则， 因为，所以， 因为，所以， 所以是等腰三角形， 所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分， 直线AM一定经过的内心. 故选：B. 【变式2】2021·全国·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】 因为，所以，即，故. 【变式3】（2021·江苏·高一课时练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 【详解】 设=，=，=，=，=， 则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2， 所以·=·，即·(-)=0， 即， 所以AD⊥BC. 【痛点直击】利用平面向量解决垂直问题，一种方法，可用已知向量作为基底，来证明向量的数量积为0，另一种方法，可以建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标坐标运算判断向量数量积为0，进而证得两线垂直。 类型二 用平面向量解决夹角问题 例2.（2021·福建三明·高一期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【变式1】在△ABC中，＝，＝，且0，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】 由题意，∴，，，又是三角形内角，∴． ∴是钝角三角形． 故选：D． 【变式2】已知，，，试求三个内角的大小． 【答案】，，． 【分析】 由向量夹角的求解方法可求得，由可知. 【详解】 ，， 【变式3】如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值. 【答案】 【分析】 即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可． 【详解】 解：∵M，N分别是BC，AC的中点， . 与的夹角等于. ， ， ， ． 【痛点直击】利用平面向量解决夹角问题，要熟练运用向量的夹角公式，要注意向量夹角的范围与直线夹角范围不一样。与角的余弦值求角时，要注意角的范围。 类型三 由平面向量解决距离（长度）问题 例3.（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）平行四边形中，，E是的中点，F是的中点，则向量的模长是______． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【变式1】（2021·上海·高一课时练习）在中，是的中点，，，则线段长的最小值为___________ 【答案】 【详解】 由平方得：. 又，所以. 所以. 当且仅当时，取最小值. 故答案为：. 【变式2】（2021·上海·高一单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长. 【答案】. 【详解】 设，，则，， 而， 所以，所以， 又， 所以，即. 【变式3】（2021·浙江·高一期末）已知的面积为，且. （1）求角的大小及长的最小值； （2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长. 【答案】（1），；（2）. 【详解】 （1）在中，由，得， 由，得， 所以， 所以，， 因为在中，，所以， 因为（当且仅当时取等）， 所以长的最小值为； （2）在三角形中，因为为中线， 所以，，所以， 因为，所以， 所以， 由（1）知，所以，或，， 所以， 因为为角平分线，，， 或2， 所以，或， 所以． 【痛点直击】用平面向量解决距离（长度）问题，就是求平面向量的模，解决有关向量的模的问题，经常将向量的模平方，利用向量的线性运算求得模的平方，开方可求得所求距离（长度），另一种方法。可建立平面直角坐标系，利用坐标运算也可