第六章 平面向量及其应用 专题1 向量共线的坐标表示-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 专题1 向量共线的坐标表示 解决平面向量的共线问题，要熟记平行向量定理及其坐标表示，利用平行向量定理时，一定要注意其中一个向量为非零向量。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 用向量的坐标判断向量共线 例1：（2021·江苏淮安·高一月考）若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（ ） A．(2，1) B．(6，10) C．(－1，2) D．(－6，10) 【答案】B 【详解】 由已知，只有，即只有与平行． 故选：B． 【变式1】（2021·上海·高一课时练习）若，、，，则与的关系是______. 【答案】相等 【详解】 解：因为，、，， 所以, 所以， 故答案为：相等 【变式2】（2021·全国·高一课时练习）下列各组向量共线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 对于A，因，则，即与不共线； 对于B，因，则，即与不共线； 对于C，因，则，即与共线； 对于D，因，则，即与不共线. 故选：C 【变式3】已知、、，，. （1）求点、及向量的坐标；（2）求证：. 【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析. 【详解】 （1）设点的坐标为，点的坐标为， 则由 可得，，， 故有，解得，即点的坐标为，． 由，可得，， ，，即点的坐标为，， 故，． （2）由于，，， 满足， 故． 【痛点直击】用平面向量的坐标判断向量共线问题，要熟练掌握公式。 类型二 用平面向量的坐标判断三点共线 例2.已知O为坐标原点，，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】见解析 【详解】 证明： ，， ，， ， 所以与共线． 因为，有公共点，所以，，三点共线． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知，，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【详解】 证明：由已知得， . 因为，所以， 有有公共点， 因此三点共线. 【变式2】已知，，，求向量，并判断三点是否共线. 【答案】见解析 【详解】 解：，，，， . 显然， .又与有公共点A， 三点共线. 【变式3】（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设点的坐标为， 因为、、三点共线，所以， 因为，，所以，， 则，整理得， 将、、、代入中，只有满足， 故选：C. 【痛点直击】用向量判断三点共线，应先由三点构成两个向量，先证明两向量共线，进而判断三点共线。 类型三 由平面向量共线求参数的值 例3.（2021·全国·高一单元测试）已知，，且，则锐角等于（ ） A．45° B．30° C．60° D．30°或60° 【答案】A 【详解】 因为，所以， 得，即，因为为锐角， 所以，即. 故选：A 【变式1】（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 向量，， 所以， ， 又， 所以， 解得． 故选：B． 【变式2】（2021·山东枣庄·高一期中）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）. A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】 因为向量，， 所以， 因为()∥，， 所以，解得， 故选：B 【变式3】（2021·上海·高一课时练习）已知，. （1）当k为何值时，与共线？ （2）若，且A，B，C三点共线，求m的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 (1)因，，则，， 因与共线，则有，解得， 所以当时，与共线； (2)因A，B，C三点共线，则有，λ∈R，即，而与不共线， 于是得，解得， 所以m的值是. 【痛点直击】用平面向量共线求参数的值，要熟练运用向量平行的相关性质，若，，，则。 【限时训练】 1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，且，那么t等于（ ） A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】A 【详解】 因为，，且， 所以即，解得 故选：A 2．（2021·上海·高一课时练习）已知向量，，设，，若∥，则实数k的值为（ ） A．－1 B．－ C． D．1 【答案】B 【详解】 ∵＝(1，2)，＝(0，1)， ∴，， ∴即. 故选：B 3．（2021·全国·高一专题练习）已知向量，，若，共线，则实数x的值为（ ） A．-1 B．2 C．1或-2 D．-1或2 【答案】D 【详解】 因为向量，，且，共线， 所以， 解得或， 故选：D 4．（2021·全国·高一课时练习）已知向量=(2，3)，=(-1，2)，若-2与非零向量m+n共线，则等于（ ） A．-2 B．2 C．- D． 【答案】C 【详解】 因为向量=(2，3)，=(-1，2)， 所以-2