第19讲 复数-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第19讲 复数 【知识点总结】 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1.复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2.复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）复数（为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． （多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则（ ） A．|z|=2 B．是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα= 例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数，则___________. 例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知其中是实数，是虚数单位，则_________ 例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则的虚部为_____________. 例7．（2022·全国·高三专题练习）复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________. 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三专题练习）设，则z的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若，则当且仅当时，为纯虚数；③则；④；⑤若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江·高三专题练习）设，，为复数，则下列命题中一定成立的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么，且 7．（2022·浙江·高三专题练习）复数，若复数，则在复平面内，复数对应的点与复数对应的点（ ） A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称 C．关于原点对称 D．关于点对称 8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ） A． B． C． D． 9．（2022·全国·高三专题练习）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（ ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A． B． C． D． 12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 13．（2022·全国·高三专题练习）若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立