第13讲 余弦定理、正弦定理的应用举例-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第13讲 余弦定理、正弦定理的应用举例 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题. 2. 学会利用三角形中的隐含条件.掌握用两边夹角表示的三角形面积公式. 3. 会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题. 通过本节课的学习，要求利用好三角形中的边的关系，角的关系，边角的关系中的隐含条件，结合给定三角形的条件选择恰当的方法求解三角形中的边、角、周长、面积；解决三角形与三角函数、向量、及平面几何相关联的综合问题；并能解决与实际问题相关联的距离、高度、角度、面积等问题. ( 知识精讲 ) 知识点 1.余弦定理及其推论 (1)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝ c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. (2)cos A＝；cos B＝；cos C＝. (3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角. 2. 正弦定理及其推论 设△ABC的外接圆半径为R，则 (1)＝＝＝2R. (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 3. 三角形面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc； (2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B. 4. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). 　 (3)方位角的其他表示——方向角 ①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向. ②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示). 5. 常见距离问题可分为以下三类 (1)两点间不可通又不可视(如图①中AB)：可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝. (2)两点间可视但不可到达(如图②中AB)：可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. (3)两点都不可到达(如要求图③中河彼岸两点AB间的距离)：可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 6. 测量仰角(或俯角)求高度问题： 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h) 【答案】　解题思路是：在△ACD中，＝，所以AC＝. 7.测量方向角求高度问题： 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD? 【答案】　先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°. 【微点拨】1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 【即学即练1】唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875） A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24 【答案】A 【分析】 根据给定条件求出h值，再代值