6.4.3.2 正弦定理（备课件）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019高中数学必修第二册 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 正弦定理 D B A C a b c E . O A C B a b c B’ 1. 正弦定理 1.定理的推导 回忆一下直角三角形的边角关系? A B C c b a 两等式间有联系吗？ 思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗? 1. 正弦定理 当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? D 如图:作AB上的高是CD,根椐 三角形的定义,得到 B A C a b c E 1. 正弦定理 且 D 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有 交BC延长线于D, 过点A作AD⊥BC， C A c b B 图2 所以AD=csinB=bsinC, 即 a 1. 正弦定理 在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c. 作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B’， 设BB’=2R. 则根据直径所对的圆周角是直角 以及同弧所对圆周角相等可以得到: . O A C B a b c B’ 正弦定理的描述 在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等 1. 适用范围：任意的三角形 2. 简单应用：实现三角形中边角关系的转化 如图，在ΔABC中， 1. 正弦定理 对正弦定理，还有其他证明方法吗? 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 教材中给出了当ΔABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明 从而，类似可推出当ΔABC为直角三角形时亦成立. 如图，当ΔABC为钝角三角形时，过点A作非零向量⊥AC.由向量的加法可得AB=AC+CB，则·AB= ·(AC+CB)，∴ ·AB= ·AC+ ·CB 即整理得 ，即同理可得 向量法证明正弦定理 2. 正弦定理的推论： 其中，R是△ABC的外接圆的半径 公式变形： a =_______，b =________，c =________ 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA > sinB > sinC 特别地： “边角互化” 拓展：任意△ABC中，a : b : c =_________________ sinA : sinB : sinC 正弦定理可用于两类解三角形： （1）已知两个角一边，求其他两边与另一角； （2）已知两边