专题20平面向量的应用（一）正弦定理和余弦定理-2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版2019）

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版） 专题20平面向量的应用（一）正弦定理和余弦定理 知识梳理 核心知识点1：正弦定理： 1．回顾学过的三角形知识填空 (1)任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且大边对大角，小边对小角． (2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即a2＋b2＝c2． 2．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 3．由正弦定理导出的结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 4．解三角形 (1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． (2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？ ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． (3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中， AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？ (4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． ②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsinA 两解 a＝bsinA 一解 a<bsinA 无解 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 核心知识点2：余弦定理： 1．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 符号语言 在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 推论 在△ABC中， cosA＝，cosB＝ cosC＝ 2.利用余弦定理及其推论解三角形的类型 (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角． 3．余弦定理和勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角. 核心知识点3：正余弦定理综合 1．(1)正弦定理的数学表达式为＝＝． (2)余弦定理的数学表达式为a2＝b2＋c2－2bccosA、b2＝a2＋c2－2accosB、c2＝a2＋b2－2abcosC． 2．应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？ (1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形． (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 3．应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？ (1)已知三角形的两边及其夹角，解三角形． (2)已知三角形的三边，解三角形． 4．三角形的面积公式 由正弦定理可得三角形的面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA． 典型例题与解题方法 必考必会题型1：利用余弦定理解三角形 【典型例题】在▱ABCD中，已知AB＝6，AC，∠CAB＝30°，那么AD＝　　． 【题型强化】在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝1：：1，则C＝　　． 【收官验收】已知三角形内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a2﹣bc＝b2+c2，则∠A　　． 【名师点睛】利用余弦定理解三角形的注意点： 1.已知两边及夹角时，先用余弦定理建立关于第三边的方程，求出第三边. 2.已知三边时，一般先用余弦定理的推论求出最大角的余弦值. 3.已知两边及一边的对角时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理.利用余弦定理是求第三边长，利用正弦定理是求另一个角，因此根据需要选择即可.注意利用正弦定理求角时，需根据大边对大角进行三角形个数的判断. 必考必会题型2：利用正弦定理解三角形 【典型例题】在△ABC中，已知A＝45°，B＝60°，b＝6，那么a＝