专题17平面向量的概念-2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版2019）

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版） 专题17平面向量的概念 知识梳理 核心知识点1：平面向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等． 【知识微点评】 向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小． (3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头． (4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定． 【知识微点评】 有向线段与向量的区别和联系 区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段 核心知识点2：向量的表示法 (1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称模)，如果向量的长度记作||． (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母、、，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为． 核心知识点3：与向量有关的概念 名称 定义 记法 零向量 长度为0的向量叫做零向量 0 单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量 平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b 规定：零向量与任何向量都平行 0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量 【知识微点评】 1.理解向量概念应关注的两点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”． (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的． (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 典型例题与解题方法 必考必会题型1：向量的几何表示 【典型例题】在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量． （1）； （2），使||； （3），使； （4），使∥． 【题型强化】在矩形ABCD中，AB＝2BC，M、N分别为AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？ 【收官验收】用有向线段表示两个相等的向量．这两个有向线段一定重合吗？ 【名师点睛】做向量的思路：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点.必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量. 必考必会题型2：考查向量相等或共线 【典型例题】如图，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点． （1）写出与共线的向量（自身除外）； （2）写出与的模相等的向量（自身除外）． 【题型强化】如图所示是4×3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个？ （2）与平行且模为的向量共有几个？ （3）与方向相同且模为3的向量共有几个？ 【收官验收】以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不相等的向量？ 【名师点睛】在平面图形中寻找共线、相等向量的方法： 1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量. 2相等向量一定是共线向量