第12讲 正弦定理-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第12讲 正弦定理 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 通过本节课的学习，要求能利用正弦定理解决与三角形边、角、周长、面积等问题，能结合余弦定理及三角函数的相关知识解决与三角函数有关的综合问题. ( 知识精讲 ) 知识点 1. 正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 公式：在任意△ABC中，都有＝＝，这就是正弦定理. 【微点拨】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系 的互化． 2. 正弦定理及其推论 设△ABC的外接圆半径为R，则 (1)＝＝＝2R. (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 3. 三角形面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc； (2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B. 【即学即练1】在△ABC中，若，则C的值为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】由正弦定理可将变形为. 【即学即练2】在中，，，，则满足条件的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意判断的大小关系，即可得出答案. 【解析】因为，，，， 所以， 所以三角形有两个解，即满足条件的有2个. 故选：C. 【即学即练3】在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为(　　)． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求，再利用正弦定理可求的值. 【解析】由余弦定理得 ， 即， 得，由正弦定理得， 故选：D. 【即学即练4】如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【解析】由已知，，由正弦定理得：.故选 D 【即学即练5】．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________. 【答案】 5 【分析】利用正弦定理，及三角形的面积公式即可求解. 【解析】由正弦定理得：,,所以， 所以. 故答案为：；5；. 【即学即练6】在中，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解. 【解析】 因为在中，， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 故答案为： 【即学即练6】在中，若，，，则__________. 【答案】 【分析】根据。结合辅助角公式首先求出，然后结合正弦定理即可求出结果. 【解析】因为，所以，即，又因为，所以，则由正弦定理得，即，所以，又因为，所以， 故答案为：. 【即学即练6】在中，若，，，则的外接圆半径长为__________. 【答案】 【解析】先根据余弦定理求解出的值，然后可求解出的值，结合正弦定理可求解出外接圆的半径. 因为， ，所以， 设外接圆半径为，所以，所以， 故答案为：. 【即学即练6】如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为__海里． 【答案】． 【分析】先利用正弦定理求解AD的长，再利用余弦定理求出AB． 【解析】由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，∠BDC=45°， 在三角形ACD中，， ∴AD＝，在直角三角形BCD中，BD＝， 在三角形ABD中，AB＝．故答案为：． ( 能力拓展 ) 考法01 正弦定理的证明： 【典例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理． 【证明】　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知， ＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B.∴＝. 同理，＝.，故＝＝.. 【典例2】如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：＝2R. 【证明】　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角A′＝