第13讲 平行线的综合-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第13讲 平行线的综合 【学习目标】 1． 掌握平行线的性质，会用平行线的性质去求角的度数。 2．牢记平行线的判定与平行线的性质的内容，会简单的平行线性质与判定的综合题。 【基础知识】 一、平行线的判定 判定：1、同位角相等，两直线平行。 几何语言：∵∠1=∠5 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行。） 2、 内错角相等，两直线平行。 几何语言：∵∠3=∠6 ∴a∥b（内错角相等，两直线平行。） 3、 同旁内角互补，两直线平行。 几何语言：∵∠3+∠5=180° ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行。） 二、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等。） 性质2：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠6（两直线平行，内错角相等。） 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补。） 三、平行线的判定与性质的区别 平行线的判定，已知是同位角、内错角或同旁内角的关系可推出直线平行的位置关系。 平行线的性质，已知是直线平行可推出同位角、内错角或同旁内角的关系。 四、平行线常见的辅助线 1：加截线（连接两点或延长线段相交），如下图 2：过“拐点”作平行线，如下图 【考点剖析】 考点一：平行线的性质与判定内容 例1．如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证:∠A=∠E. 请完成解答过程: 解:∵AD∥BE(已知) ∠A=∠________(________) 又∵1=∠2(已知) ∴AC∥________(________) ∴∠3=∠________(两直线平行,内错角相等) ∴∠A=∠E(________) 【答案】3；两直线平行，同位角相等；DE；内错角相等，两直线平行；E；等量代换 【解析】 由于AD∥BE可以得到∠A=∠3,又∠1=∠2可以得到DE∥AC,由此可以证明∠E=∠3,等量代换即可证明题目结论． 考点二：平行线的性质与判定综合 例2．如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理． 【答案】∠AED＝∠C．理由见解析 【解析】 由图中题意可先猜测∠AED＝∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2＝180°，而∠1+∠4＝180°所以∠2＝∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3＝∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC． 【解答】∠AED＝∠C． 证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义） ∠1+∠2＝180°（已知） ∴∠2＝∠4（同角的补角相等） ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行） ∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B＝∠3（已知）， ∴∠ADE＝∠B（等量代换）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）． 【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明． 考点三：过“拐点”作平行线 例3．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　 　度． 【答案】65． 【解析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可． 解：过点C作CF平行于AB，如图： ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥ED． AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°， CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°． 故填65°． 【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键． 【真题演练】 1．在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180° 【答案】C； 【解析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b； B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b； C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行； D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b； 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键． 2．如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠B+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5