9.4 向量应用（课堂培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

9.4向量应用 1. 中，，在下列命题中，是真命题的有 A. 若且，则为锐角三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等边三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】 解：对于，， ，为锐角， ，为锐角， 但不一定是锐角，故无法判断三角形形状，故A是假命题． 若，则是钝角，则是钝角三角形，是真命题 若，则，故以和为邻边的平行四边形为菱形， 为等腰三角形，但不一定等边，故C不正确 若，则，即， 即，由余弦定理可得：，即，即， 即为直角三角形，即D正确． 故选BD．   2. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度取，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 A. B. C. D. 【答案】 解：由题意知，根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等， 设每根绳子的拉力为，则， 解得： 故选：．    3. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境如图假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，，若，与的夹角为则以下结论正确的是   A. 的最小值为 B. 的范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】 【解答】 解：   ， ， ， ． 对于当 时，的最小值为，故A正确； 对于当时竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，故 ，所以错； 对于当时，，故C正确； 对于当时，，故D正确； 故选：．   4. 已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是          ． 【答案】 【解答】 解：的模为，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为．   5. 已知点是锐角三角形的外心，若，则    A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：点是锐角三角形的外心， 在三角形的内部，则，， 不妨设锐角三角形外接圆半径为， ， ， 则， 设向量的夹角为， 则， 或舍去， ， 故选C．   6. 已知点为所在平面内一点，且，若为的中点，为的中点，则下列结论正确的是    A. 向量与可能平行 B. 向量与可能垂直 C. 点在线段上 D. 【答案】 【解答】 解：， ， 为的中点，为的中点， ， ， 为的三等分点靠近点，即，故C正确，D错误， 向量与不可能平行，故A错误； 当时，向量与垂直，B正确． 故选BC．   7. 在中，设，则动点的轨迹必通过的     A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 【答案】 【解答】 解：如图所示： 设线段的中点为，则． ， ， ，即 ，且平分． 因此动点的轨迹必通过的外心． 故选D． 8. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的     A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】 【解答】解：因为，所以点到三角形的三个顶点的距离相等， 所以点为的外心 由，得， 由中线的性质可知点在边的中线上， 同理可得点在其他边的中线上， 所以点为的重心 由， 得， 则点在边的垂线上，同理可得点在其他边的垂线上， 所以点为的垂心． 故选C．   9. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有    A. 若，则点为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 若，则点为的内心 【答案】 【解答】 解：对于由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点靠近线段，所以为的重心，故A正确． 对于，向量，分别表示在和上取单位向量和，是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心，故B错误； 对于，是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，所以为的外心故C正确； 对于，由，得，即，所以同理可得，所以为的垂心，故D错误； 故选AC．    10. 已知非零向量，且，则为______三角形． 【答案】等边 【解析】解：表示边的单位向量，表示边的单位向量， 表示的向量在的角平分线上， ， 的角平分线垂直于边，所以是以角为顶角的等腰三角形， ， ，等腰中一角为，所以为等边三角形 故答案为：等边 11. 已知单位向量，分别与平面直角坐标系，轴的正方向同向．且向量，，则平面四边形的面积为      A. B. C. D. 【答案】 由向量正交分解的定义可知，，， ，，， ，即平面四边形对角线互相垂直， ， 故答案为：．   12. 已知是三角形内部一点，满足，，则实数 A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：如图， ，则：，，三点共线； 与共线反向，； ； 解得． 故选C．   13. 如