9.3 向量基本定理及坐标运算（课堂培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

9.3 向量基本定理及坐标运算 1. 在菱形中，，，，，若，则    A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：作出图形，建立如图所示的坐标系， 设，因为，，故BD， 则，，，， 则，． 由题可知， 故， 所以， 故， 解得． 故选D．    2. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则 A. B. C. D. 【答案】 解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形的边长为， 则，，，，， 所以， ，． ， ，解得 ， 故选D．   3. 已知是的垂心三角形三条高所在直线的交点，，则的值为_________． 【答案】 【解答】 解：，如图， 设，则， 、、三点共线， ， ， ，即， ， ，其中点为边的中点，则边上的中线与垂线重合，即， ，且， 同理可知， ，且， 建立平面直角坐标系如下： 则有，，，设，， ， 由，可得． ． 故答案为．   4. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则          ． 【答案】 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则， 由与的夹角为，且， ，，， ， ， ． ， ，， 解得，， 则． 故答案为：．   5. 已知，，点满足，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】 【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．． 不妨设，， 点满足，点在上． 设，则，解得． ． 点满足， ，解得． 故选：． 6. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述不正确的是    A. 是定值． B. 是定值． C. 是定值． D. 是定值． 【答案】 解：由题意，以点为原点，的垂直平分线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示： 不妨记正方形边长为，即，，，； 令圆的半径为，点的坐标为，则有． 则有，，，． 对于选项：是定值，故A正确； 对于选项： 为定值，故B正确； 对于选项，令，取时，； 再取时，， 显然不是定值，故C错误； 对于选项：是定值，故D正确； 故选C．   7. 如图，在中，，分别是，的中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：由，，三点共线，，，三点共线可得， 存在实数，，，，使得 ，， ，， 由，，，共线，，． ， 可得，， 所以，即． 点，是线段上两个动点，，． 那么； 当且仅当时取等号， 则的最小值为． 故选：． 8. 在中，，点是内包括边界的一动点，且，则的最大值是___________． 【答案】 【解答】 解：中，，，， ，，，； 以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， ，，， ，，， 设点为，，， ， ， ， ， 直线的方程为，， 联立，得， 此时最大， ． 故答案为．   9. 中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，则的最大值为          ；的最小值为          ． 【答案】 解：由已知， 又， 所以， 因为，，三点共线，不共线， 所以存在，使得， 即 得， 又，， 所以，当即时，取等号， 解得，  ， 当即时，取等号， 即的最大值为，的最小值为． 故答案为．    10. 已知，是边的三等分点，点在线段上，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解： 由题意知，，三点共线， 则存在实数使， 所以， 即， 又因为， 所以，即且． 因此， 所以当时，取得最大值； 当或时，取得最小值， 所以的取值范围为． 故选D．    11. 已知向量，，，若，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 解：向量，，， ， 所以， 则， 则当时，的最小值为， 故选C．    12. 如图，在长方形中，为边的中点，为边上一点，且设． Ⅰ试用基底，表示； Ⅱ若为长方形内部一点，且求证：，，三点共线． 【答案】解：Ⅰ由题，， ． Ⅱ， ， ， ，，三点共线． 13. 如图所示，在中，，与相交于点，设，． 试用向量，表示； 过点作直线，分别交线段，于点，记，，求证为定值． 【答案】解：由，，三点共线， 可设， 由，，三点共线， 可设， 因为，不共线， 所以，解得，， 故． 因为，，三点共线，，， 设， 由知，， 即，， 所以，为定值． 14. 若中，，，． 若点、满足，，求的值； 为所在平面内一点且满足，求长度的最小值． 【答案】解因为点、满足， 所以 ， 又因为，，． 所以， 所以 ． 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，，， 设，所以，，，  所以，即． 令则 所以 ， 当且仅当时，“”成立， 所以的最小值为． 15. 如图所示，平行四边形中，，，分别是，的中点，为线段上的一点，且． 以为基底表示向量； 若的夹角，求； 的范围． 【答案】解：平行四