9.2.3 向量的数量积（课堂培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

9.2.3向量的数量积 1. 已知菱形边长为，，点，分别在边，上，，，则  A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解： 由， ， 所以 ． 故答案选：．    2. 已知是非零向量且满足，，则与的夹角是  A. B. C. D. 【答案】 解：设的夹角为 因为是非零向量且满足，， 所以 且 所以，所以 因为所以 故选B．    3. 已知，，且，则向量在方向上的投影向量为      A. B. C. D. 【答案】 【解答】解：设与的夹角为，， 由， 则， 可得， 则，又， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选D．   4. 已知，是的角平分线，且，则方向上的投影向量为          设，则          ． 【答案】 解：，是的角平分线，且， ，在方向上的投影向量为； 又，， 即，即． 故答案为；．   5. 已知向量，满足，，，则，      A. B. C. D. 【答案】 解：因为，，， 所以， ，，，， 所以， 因为， 所以， 故选D．    6. 已知向量在向量上的投影向量的模为，向量在向量上的投影向量的模为，且，则________． 【答案】或 解：设向量与向量的夹角为，由题意可得，可得． 当时，则， 所以，； 当时，则， 所以，． 故答案为：或． 7. 如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则 A. B. C. D. 【答案】 解：，，， ， ， 由图象知，， ，， 即， 故选：．    8. 如图，，，是边长相等的等边三角形，且，，，四点共线若点，，分别是，，上的动点不包括端点，记，，，则    A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：设的边长为． 的几何意义是在方向上的投影向量的模与的乘积， 因此，． 的几何意义是在方向上的投影向量的模与的乘积， 因此，． ， 在方向上的投影向量的模等于， 因此． 综上所述， 故选．    9. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有    A. 在方向上的投影向量为 B. C. 若 D. 若，则与平行 【答案】 【解答】 解：对于，在方向上的投影为向量为，故A错误； 对于，，故B正确； 对于，，， 当时，不成立，故C错误 对于，若，所以，所以，所以与平行，故D正确． 故选BD．   10. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是     A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：对于选项，由垂心的性质即可，A正确， 对于选项有，，而， 从而，B错误； 对于选项，结合垂径定理和向量投影可得， 同理， 从而C正确； 对于选项，由，可得， 而由为重心，故， 得，代入， 即可得，D正确； 故选ACD．    11. 若平面向量满足，则在上投影向量的模的最小值是______． 【答案】 解：设，的夹角为， 由， 可得：， ， ， 则在上投影向量的模为 ， 当且仅当时取得等号， 所以在上投影向量的模的最小值是， 故答案为：．   12. 已知，，，设函数，当时，取得最小值，则在方向上的投影向量的模为 A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：因为，，，， 所以， 当，即时， 取得最小值，于是取得最小值， 所以在方向上的投影向量的模为， 故选：．   13. 已知向量在向量方向上的投影为，． 求向量与的夹角； 求的值； 若向量，，，求的值． 【答案】解：，， 向量在向量方向上的投影为， 设向量与的夹角为，则， ， ，， 即，，则， 则， 又，， 向量与的夹角为； ． ，， ， 、不共线， ，解得． 14. 已知向量和，，且． 若与的夹角为，求的值； 记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由． 【答案】解：，与的夹角为， 则， 由，两边平方可得， ， ， 即有， 解得；  由得， 即 即可得， ， ， 因为对于任意恒成立， ，                      所以， 即对于任意恒成立， 构造函数， 从而． 由此可知不存在实数使之成立 15. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，向量，的夹角为． 若，求的值； 当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围． 【答案】由，，三点共线得因为，，三点共线，所以可设因为，不共线，所以解得， 所以． 由，得，解得则． 当点在边上时，设， ， 所以． 当点在边上时，同理求得． 综上所述，的取值范围是． 第2页，共3页 第1页，共1页 学科网