9.1-9.2 向量概念与运算(课堂培优)-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

向量概念与运算 1. 下列命题正确的是      ． A. 若向量与同向，且，则 B. 若向量，则与的长度相等且方向相同或相反 C. 对于任意，且与的方向相同，则 D. 向量与向量平行，则向量与方向相同或相反 【答案】 解： 因为向量不能比较大小， 所以A错误 若向量的模相等，只能说长度相等，并不能判断方向， 所以B错误 因为模相等，方向相同的向量是相等向量， 所以C正确 因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向不定， 所以不正确． 故选C．    2. 已知、、分别是的边的中点，且，下列命题正确的有      A. B. C. D. 【答案】 【解析】 解：如图， 在中， ，故A不正确； ，故B正确； ， ，故C正确； ，故D正确． 故选BCD．    3. 在中，点为延长线上一点，且，则 A. B. C. D. 【答案】 解：由题意可知，， ， ． 故选：．   4. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是的面积的 【答案】ACD 【分析】 判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）. 【详解】 A中：,即： ,则点是边的中点 B. ,则点在边的延长线上，所以B错误. C. 设中点D,则,，由重心性质可知C成立. D．且设 所以，可知三点共线，所以的面积是面积的 故选择ACD 5. 如图，等腰直角中，点为的重心，过点的直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为______ 【答案】 设为线段的中点，因为点为的重心，所以 ，而， 即有，根据三点共线，可得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 6. 如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于 A. B. C. D. 【答案】 解：由 ， 所以，， 即， 故选D．    7. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值为_________． 【答案】2 【详解】 8. 在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 中，为边的中点，为的中点， 且， ， ， 同理，， 又与共线， 存在实数，使， 即， ，解得， ， 当且仅当时， “=”成立，故答案为. 9. 如图，中，，，的平分线交的外接圆于点，设，，则向量        A. B. C. D. 【答案】 【解答】 解：设外接圆的圆心为，半径为，连接，． 在中，，， 所以，，为的平分线， 所以， 则根据圆的性质知， 又因为在中，， 所以四边形为菱形， 所以． 故选C．    10. 如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，，则用，表示，其结果为 A. B. C. D. 【答案】 解：设的中点为，则也是，，的中点， 可得， 同理可得，， 故 故选B． 11. 已知为坐标原点，直线与圆交于、两点，，点为线段的中点．则点的轨迹方程是          ，的取值范围为          ． 【答案】 【解析】 解：由题意，圆的圆心坐标，半径， 设圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得， 即， 整理得，即， 所以点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆， 所以点的轨迹方程为 又 由， 所以， 即， 所以， 即的取值范围为 故答案为； 12. 设两个非零向量与不共线． （1）试证：起点相同的三个向量，，3﹣2的终点在同一条直线上； （2）求实数k，使得k+与2+k共线． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） k＝±． 解：（1）证明：设， ， 两个非零向量与不共线， ， 解得，； ， 起点相同的三个向量，，的终点在同一条直线上； （2）设与共线， 则存在，使， ， 解得， 即时，与共线． 13. 在中，是线段上靠近的一个三等分点，是线段上靠近的一个四等分点，，设，． 用，表示； 设是线段上一点，且使，求的值． 【答案】解：因为是线段上靠近的一个三等分点，所以． 因为是线段上靠近的一个四等分点，所以， 所以． 因为，所以， 则 ． 又，， 所以 因为是线段上一点， 所以存在实数，使得， 而是线段上靠近的一个四等分点，因此 所以 ， 因为，所以存在实数，使， 而由知：， 因此， 而，不共线，因此，解得， 所以． 14. 在中，． 求与的面积之比； 若为中点，与交于点，且，求的值． 【答案】解：在中，， 得， 得， 得， 即点为线段上的靠近的四等分点， ：， 与的