课时必备练(十一) 函数与方程（课时作业）-2022版高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

课 时 必 备 练(十一)　函数与方程 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：选B.令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0， 即2sin x－2sin x cos x＝0， ∴ 2sin x(1－cos x)＝0，∴ sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]， ∴ 由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π. 故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B. 2．(高考全国卷丙)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A．－ B． C． D．1 解析：选C.由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得 f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C. 3．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　) A． B． C．∪{1} D．∪{1} 解析：选D.如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象． (1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况． 当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时， 2＝－＋a，解得a＝.所以0≤a≤. (2)再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1. ②相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点．过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥. 结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}．故选D. 4．(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　) A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0 C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0 解析：选C.由题意，b＝f(x)－ax＝ 设y＝b，g(x)＝ 即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a<－1时，1－a>0，可知g(x)在(－∞，0)上递增； 由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0， 可知g(x)在(0，＋∞)上递增．此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故A，B排除． ②当a>－1，即a＋1>0时， 因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，所以当x≥0时， 由g′(x)<0可得0<x<a＋1， 所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上递增． 如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点． 当1－a>0，即－1<a<1时，由图象可得，若要y＝g(x)与y＝b的图象有3个交点，必有b<0； 当1－a＝0时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去； 当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去． 综上，－1<a<1，b<0.故选C. 5．(2020·天津卷)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　) A．∪(2 ，＋∞) B．∪(0，2 ) C．(－∞，0)∪(0，2 ) D．(－∞，0)∪(2 ，＋∞) 解析：由题意知函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f(x)－|kx2－2x|＝0，即f(x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点． 当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意． 当k<0时，y＝|kx2－2x|＝，其图象的对称轴为直线x＝<0，直线x＝与y＝|kx2－2x|的图象的交点为，点在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满