专题11 三角形的实际应用-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题11 解三角形之三角形的实际应用 一、解答题(共30题) 1．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里.乙船每小时航行多少海里？ 【答案】. 【分析】 先连接A1B2，利用时间速度求A1A2，判断△A1A2B2是等边三角形，得到∠B1A1B2＝45°，，再利用余弦定理解三角形△A1B2B1中的边，计算速度即可. 【详解】 解：连接A1B2，如下简图， 由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10＝A2B2， 又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形， 故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，， 在△A1B2B1中，由余弦定理得， 故(海里)，时间为（小时） 因此乙船的速度大小为 (海里/小时). 2．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为该地的纬度值，为此时太阳直射纬度，那么这三个量之间的关系是，当地夏半年取正值，冬半年取负值．已知某地区的纬度数约为北纬，根据地理知识，太阳直射北回归线（约北纬）时，称为夏至日，此时物体的影子最短；太阳直射南回归线（约南纬）时，称为冬至日，此时物体的影子最长．该地区某学校计划在一幢高12米的旧教学楼的北面建一幢高20米的新教学楼． （1）要使新楼一层正午的太阳全年不被旧楼遮挡，两楼间的距离不应小于多少米？ （2）要在两楼的楼顶连接网线，则网线的长度不应小于多少？（精确到米） 参考数据：，． 【答案】（1）不应少于20米；（2）长度不应小于22米． 【分析】 （1）根据题意，先弄明白的值，然后解三角形即可； （2）先求出，再得到，然后再解三角形即可. 【详解】 （1）由题意可知， 则， 则在直角三角形中，， 所以，所以， 所以两楼之间的距离不应少于20米； （2）在直角三角形中，， 则，且， 在三角形中，因为， 所以，由余弦定理可得， ， 所以， 所以网线的长度不应小于22米． 3．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山隧道，试求出隧道的长度. 【答案】 【分析】 在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度 【详解】 在中，，，. 由正弦定理， 即，所以. 在中，因为，， 所以. 由正弦定理， 所以， 所以， 所以隧道的长度为. 4．如图所示，､两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向16处，的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：)与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得､两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨. （1）当时，求的值； （2）发电厂尽量远离居民区，要求的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）根据已知条件先计算出的长度，然后利用余弦定理求解出的值，从而的值可求； （2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到的轨迹，由此确定出的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离. 【详解】 （1）根据条件可知：，所以， 所以，所以； （2）以中点为坐标原点，垂直于方向为轴，建立坐标系如图所示： 设，，因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以的轨迹是圆心为，半径为的位于轴上方的圆， 所以当的面积最大时，此时的坐标为， 所以，. 5．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界与的长度都是米，，. （1）若，求的长（结果精确到米）； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）. 【答案】（1）米；（2）米. 【分析】 （1）连接，可知是等边三角形，可得出，求出的值，利用正弦定理可求得的长； （2）设，利用正弦定理得出，，进而可得出围成该区域所需板材的长度关于的表达式，利用正弦函数的有界性可求得结果. 【详解】 （1）连接，由题意是等边三角形，所以， 又因为，所以， 在中，，得（米）； （2）设，则，， 在中，， 所以，， 所需板材的长度为. 答：当时，所需板材最长为（米）. 6．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔的高度，他在点A测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得. （1）请你根据张明的测量数据求出塔高度；