专题10 结构不良型-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题10 解三角形之结构不良型 一、解答题(共60题) 1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，___________. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）从三个条件中任选一个，然后利用诱导公式､二倍角公式､正弦定理等知识转化求解即可. （2）根据第（1）问所求，利用余弦定理建立三边关系，求出bc的值，最后代入三角形面积公式求解即可. （1） （1）方案一：选条件①. 根据正弦定理及得， 整理得， 即， 易知， 所以， 又，所以， 又，（注意角的范围）故. 方案二：选条件②. 在中，，所以， 结合二倍角公式，可得， 所以， 得. 又，所以. 方案三：选条件③. 在中，，所以， 所以， 结合正弦定理可得，，得. 又，所以. （2） 根据余弦定理可得， ， 又，，， 所以，得， 所以. 2．在中，，，分别为内角，，的对边，且满. （1）求的大小； （2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积. 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 （1）由题中条件，根据正弦定理，得到，再由余弦定理，即可求出结果； （2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出，得到，进而可求出三角形面积. 【详解】 （1）因为， 又由正弦定理，得 ， 即， 所以， 因为， 所以. （2）方案一：选条件①和②. 由正弦定理，得. 由余弦定理，得 ， 解得. 所以的面积. 方案二：选条件①和③. 由余弦定理，得 ， 则，所以. 所以， 所以的面积. 3．在①成等差数列；②成等比数列；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 已知的内角所对的边分别是，面积为．若__________，且，试判断的形状． 【答案】若选①, 为等边三角形；若选②，为等边三角形；若选③，为直角三角形． 【分析】 先根据三角形面积公式以及余弦定理化简得A,再利用正余弦定理的相关知识分别对三种选择求解即可. 【详解】 若选① 由可得：， 所以，又，所以； 由余弦定理可得： 又成等差数列，所以 即， 即， 可得 所以为等边三角形． 若选② 由可得：， 所以，又，所以； 由余弦定理可得：， 又成等比数列，所以 即， 所以，所以 所以为等边三角形． 若选③ 由可得：， 所以，又，所以； 又，所以 即 可得：，所以， 所以 所以为直角三角形． 故答案为：若选①, 为等边三角形；若选②，为等边三角形；若选③，为直角三角形． 4．在①，，②，，③，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答． 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，_____，求b． 【答案】． 【分析】 若选①，先求出和，再根据余弦定理即可求出；若选②，先求出，然后利用正弦定理得到，再根据面积公式即可求得；若选③，先根据面积可得为直角，然后根据诱导公式和内角和定理得到，再根据正弦定理得到，结合已知即可求出. 【详解】 若选①：，． 因为，，所以． 由，解得． 由余弦定理得，所以． 若选②：，． 因为，，所以． 因为，所以． 所以，由正弦定理可得． 所以，所以． 若选③：，． 因为，得． 又因为，所以． 因为，， 所以，且． 根据正弦定理，可得． 所以，解得． 5．已知分别为内角的对边，若是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个： ① ② ③ ④ （1）条件①④能否同时满足，请说明理由； （2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的的面积. 【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③，. 【分析】 （1）如果条件①④能同时满足，可知在锐角中，可得，即可判断结结果； （2）由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ ；若同时满足②③④，因为，则，可得，可知不满足题意；只能同时满足①②③，可根据余弦定理可求出的值，再根据三角形面积公式即可求出结果. 【详解】 解：（1）不能同时满足①，④. 理由如下： 若同时满足①，④， 则在锐角中，，所以 又因为，所以 所以，这与是锐角三角形矛盾 所以不能同时满足①，④. （2）因为需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ 若同时满足②③④，因为，所以，则， 则这与是锐角三角形矛盾. 故不能同时满足②③④，只能同时满足①②③. 因为， 所以， 解得或. 当时，， 所以为钝角，与题意不符合，