第11讲 余弦定理-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第11讲 余弦定理 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 4.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 通过本节课的学习，要求理与掌握余弦定理的内容及公式特点，会用余弦定理解三角形，并能准确应用余弦定理进行恒等式的证明与判断三角形形状的问题的解决. ( 知识精讲 ) 知识点 余弦定理的公式表达及语言叙述 余 弦 定 理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 【微点拨】 1.余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 2. 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形. 3. 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角. 4. 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 【即学即练1】在中，，,，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦定理求解即可. 【详解】 在中，由余弦定理可得， 所以 所以， 故选：. 【即学即练2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．30 C．40 D．25 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可直接求解． 【详解】根据余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝52+82﹣5×8＝49， 所以c＝7，则△ABC的周长为20． 故选：A． 【即学即练3】在中，若，则的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解. 【详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以三角形是直角三角形. 故选：B 【即学即练4】已知是三边长，若满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 变形条件，结合余弦定理，即可求解. 【详解】 ， 即， ，， 所以. 故选：A 【即学即练5】在锐角中，，，且，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据二倍角的余弦公式求得，结合余弦定理即可求出b. 【详解】 由， 得，又， 所以； 由余弦定理，得， 即，由，解得. 故答案为：5 【即学即练6】．余弦定理和勾股定理之间有何联系？ 【答案】勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广； 【解析】 【分析】 令，可得余弦定理分子等于0，即可得到勾股定理. 【详解】 解：对于，令，则由勾股定理得； 由余弦定理，因为，所以，即，所以， 即勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 【即学即练7】在中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，，求． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得的值即可得角； （2）由余弦定理求得的值即可得角； （3）由余弦定理即可求解. 【解析】(1)在中，由正弦定理可得：，即， 可得，因为，，所以，即. (2)在中，由余弦定理可得：， 因为 ，所以. (3)在中，由余弦定理可得： ， 解得：. 【即学即练8】在△中，已知，求A的大小. 【答案】. 【解析】 【分析】 由已知条件化简可得，结合余弦定理即可求，进而确定A的大小. 【详解】 ， ∴，又， ∴，，则. 【即学即练9】在△中，如果，求的值. 【答案】. 【解析】 【分析】由已知条件，令，结合余弦定理即可求的值. 【详解】 由，令， ∴. 【即学即练10】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2．求c． 【答案】c＝4 【解析】 【分析】 由已知求得tanA＝－，再由余弦定理可求得答案， 【详解】 解：由已知可得tanA＝－，又，所以A＝．在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)． ( 能力拓展 ) 考法01