专题1.13 角的平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.13 角的平分线（知识讲解） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题. 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵DC平分∠ADB , 又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 要点二、角的平分线的判定 　 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心， 三角形内心到这个三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角平分线的性质定理及证明 1．如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】 （1）由题意易证△AFE≌△AFC，进而问题可求证； （2）由（1）可得∠AEC=∠ACE=40°，然后根据三角形外角的性质可求解． （1）证明：∵平分，， ∴， ∵AF=AF， ∴△AFE≌△AFC（ASA）， ∴； （2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC， ∴∠AEC=∠ACE， ∵，， ∴∠AEC=∠ACE=40°， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，已知点E在