专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解） 【学习目标】 1、 会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质； 2、 能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题； 3、 能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练. 【要点梳理】 知识要点一： 线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 知识要点二： 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 【典型例题】 类型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长． 【答案】线段BC的长为8 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，由线段的和差关系可求解． 解：∵MN垂直平分AB， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为20， ∴， ∴BC的长为8． 【点拨】题目主要考查垂直平分线的性质及线段的和差关系，理解垂直平分线的性质是解题关键． 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：△BEC是等腰三角形． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠ABE=∠A=36°，由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ABE=72°，由AB=AC，可得，则∠C=∠BEC，