第14讲 等差数列、等比数列基本量-2022年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第14讲 等差数列、等比数列基本量 【知识点总结】 一、基本概念 1.数列 (1)定义. 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系. 从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决. 2.等差数列 (1)定义. 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即. (2)等差数列的通项公式. 若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)(). (3)等差中项. 若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项. (4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上. 3.等比数列 (1)定义. 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数. (3). (4)等比中项 如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个). (5)等比数列的前项和 二、基本性质 1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广. 当时,则有,特别地,当时,则有. (2)等差数列线性组合. ①设是等差数列,则也是等差数列. ②设是等差数列,则也是等差数列. (3)等差数列的单调性及前项和的最值. 公差为递增等差数列,有最小值; 公差为递减等差数列,有最大值; 公差为常数列. 特别地 若,则有最大值(所有正项或非负项之和); 若,则有最小值(所有负项或非正项之和). (4)其他衍生等差数列. 若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广. 若时,则,特别地,当时,. (2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列. ②设与为等比数列,则也为等比数列. (3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定). 当或时,为递增数列; 当或时,为递减数列. (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数). 4.等差数列与等比数列的转化 (1)若为正项等比数列,则为等差数列. (2)若为等差数列,则为等比数列. (3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列. 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ） A．－24 B．－3 C．3 D．8 【答案】A 【详解】 根据题意得 ，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 解得d＝0(舍去)，d＝－2， 所以数列{an}的前6项和为. 故选：A 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．38 B．50 C．36 D．45 【答案】D 【详解】 ． 故选：D 例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为S3 = a2 +10a1， 所以a2 +a3= a2 +10a1， 即a3= 9a1，即= 9a1， 解得= 9， 又因为a5 = 9， 所以= 9， 解得， 故选：C. 例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn, ∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列. ∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5, ∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-. ∴S15-S10=-(S10-S5)=S5. ∴S15=S5+S10=S5. ∴S15∶S5=. 故选：A. 例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．