第10讲 空间直线、平面的平行（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第10讲空间直线、平面的平行（核心考点讲与练） 1．直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行． 2．平面与平面平行的定义 如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行． 3．直线与平面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简称：线线平行，则线面平行． 符号语言：⇒a∥α. 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简称：线面平行，则线线平行． 符号语言：⇒a∥b. 4．平面与平面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行． 符号语言：⇒α∥β. 性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行． 符号语言：⇒ a∥b. 5．平行问题的转化关系 考点一 ： 平行关系命题判定问题 例1　空间中，下列命题正确的是________(填序号) 1 若a∥α，b∥a，则b∥α 2 若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α 3 若α∥β，b∥α，则b∥β 4 若α∥β，a⊂α，则a∥β 答案　④ 解析　对于①，b可以在α内，①错；对于②，当a，b相交时才能有β∥α，②错；对于③，b可能在β内，③错；由面面平行的性质知，④正确． 变式训练 对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是________(填序号) ①若m，n与α所成的角相等，则m∥n ②若m∥α，n∥α，则m∥n ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若m⊂α，n∥α，则m∥n 答案 ④ 解析 由m⊂α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n. 解题要点 解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析．在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系． 考点二 ： 线面平行的判定和性质 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点． 求证：EF∥平面PAD. 解析　证明：连接AC，AC∩BD＝F. ∵ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点， ∴在△CPA中，EF∥PA. 而PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD. ∴EF∥平面PAD. 变式训练 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则________(填序号) ①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 ②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 ③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 ④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形 答案　② 解析　如图，由题意，EF∥BD，且EF＝BD.HG∥BD，且HG＝BD. ∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形． 又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选②. 解题要点 对平行问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊂α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂β，a∥α⇒a∥β)． 考点三 ： 面面平行的判定和性质 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明　(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB. 又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD， ∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD平面BDD1B1，FG⊂平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知， EG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG， FG平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 变式训练 如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF. 解析　∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF. 又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1. 又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF. 解题要点 证明面面平行同