第10讲 两条直线的位置关系-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第10讲 两条直线的位置关系 【学习目标】 1.了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角，理解其性质并会运用解决实际问题； 2．理解两条直线互相垂直的含义，掌握垂线的性质；逐渐建立几何逻辑思维推理能力。 【基础知识】 一、知识框架 二、知识概念 （一）相交线 1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质 概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。 3、互补与互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。 （二） 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。 （三）平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。表示方法：我们通常用“∥”表示平行，如下图所示，AB与CD平行，记作AB∥CD或CD∥AB。 平行线：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交。三者缺一不可。 【考点剖析】 考点一：与对顶角、垂直、角平分线相关的角度计算 例1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，求∠AOF度数 【答案】55° 【解析】 ∵∠B0C=∠AOD=70° 又∵OE平分∠BOC ∴∠BOE=∠BOC=35° ∵OF⊥OE ∴∠EOF=90° ∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55° 考点二：余角和补角 例2．一个角的补角的2倍与它的余角的和为240°，则这个角的度数为___________度． 【答案】70； 【解析】 解：设这个角的度数是x 2(180-x)+(90-x)=240 x=70 考点三：垂线段最短 例3．如图，已知：点A、点B及直线 （1）请画出从点A到直线的最短路线，并写出画图的依据． （2）请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据 【答案】见解析 【解析】 （1）如图所示：过A作AE⊥，点E为所求，根据垂线段最短 （2）如图所示：连接AB，与交点就是O，根据两点之间线段最短 【真题演练】 1．下列说法正确的是 ( ) A.不相交的两条直线是平行线. B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行. C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线. D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线. 【答案】D； 【解析】考查平行线的概念． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠DOE=36°，则∠BOC的度数为（　　） A．72° B．90° C．108° D．144° 【答案】A； 【解析】∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×36°=72°， ∵∠BOC与∠AOE是对顶角， ∴∠BOC的度数为72°，故选A 3．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=2：3，则∠BOD=（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【答案】B； 【解析】∵∠EOC：∠EOD=2：3 ∴∠EOC=180°×=72° ∵OA平分∠EOC ∴∠AOC=∠EOC=×72°=36° ∴∠BOD=∠AOC=36° 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过O的射线，其中构成对顶角的对数 ( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B； 【解析】两条直线相交，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角. 5.在直线AB上任取一点