7.2.1三角函数的定义-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 知识梳理 一．任意角的正弦、余弦与正切的定义 对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作cosα，因此sinα＝，cosα＝. 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝ 角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数. 二．正弦、余弦与正切在各象限的符号 当且仅当α的终边在一二象限时，sinα>0； 当且仅当α的终边在三四象限时，sinα<0. 当且仅当α的终边在一四象限时，cosα>0； 当且仅当α的终边在二三象限时，cosα<0. 当且仅当α的终边在一三象限时，tanα>0； 当且仅当α的终边在二四象限时，tanα<0. 如图所示： 根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1： “sinα＝：上正下负横为0；cosα＝：左负右正纵为0；tanα＝：交叉正负”. 形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”. 常见考点 考点一 利用定义求某角的三角函数值 例1．已知角α的终边经过点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由任意角三角函数的定义可得结果. 【详解】 依题意得. 故选：D. 变式1-1．在平面直角坐标系中，角以x轴的非负半轴为始边，且点在角的终边上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据点P的坐标求出，结合任意角的余弦值的定义即可得出结果. 【详解】 因为，所以 由角的余弦值的定义可得， 故选：A. 变式1-2．已知角的终边上有一点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】 由题意，角的终边上有一点，可得， 根据三角函数的定义，可得. 故选：B. 变式1-3．若角终边落在射线上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据三角函数定义即得. 【详解】 设角终边上一点， 则. 故选:C. 考点二 由三角函数值求终边上的参数 典例2．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（ ） A．4 B．-4 C． D．不确定 【答案】B 【分析】 利用三角函数的定义求得. 【详解】 依题意是第四象限角，所以， . 故选：B 变式2-1．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用三角函数的定义，列出方程，解之可得选项. 【详解】 由题意，得， 根据三角函数的定义，可得且，解得. 故选：C. 变式2-2．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C．-1 D．3 【答案】B 【分析】 由任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】 解：由题意，，则， 故选：B. 变式2-3．设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】 因为，所以，解得， 又是第三象限角，所以，所以． 故选：D． 考点三 特殊角的三角函数值 典例3．的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由得出答案. 【详解】 故选：C 变式3-1．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据特殊角的三角函数值直接得出结论． 【详解】 ， 故选：B 变式3-2．的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用特殊角的正切值进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 变式3-3．若角是三角形的内角，且，则角等于（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】 角是三角形的内角，则，再根据三角函数值可得答案. 【详解】 角是三角形的内角，则 ，则或 故选：D 考点四 已知角或角的范围确定三角函数式的符号 典例4．若，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】 确定所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】 因，则是第二象限象限角， 所以. 故选：B 变式4-1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 确定出的范围，从而可求得答案 【详解】 因为， 所以为第一象限的角， 所以， 故选：A 变式4-2．如果是第三象限的角，那么（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】 根据象限角的符号特点即可判断. 【详解】 如果是第三象限的角，则，，， 故选：C. 变式4-3．已知为第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据为第三象限角，可以得到，的取值范围，进一步得出答案. 【详解】 ∵为第三象限角，即， ∴即是第二