7.2.2单位圆与三角函数线-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.2任意角的三角函数 7.2.2单位圆与三角函数线 知识梳理 一．正弦线与余弦线 1.一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆 2.过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M， 当的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且 当的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且 称为角α的余弦线， 类似地，可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线. 注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角的余弦线是，正弦线是，由此可看成，而且还可以看出： ， 二．正切线 设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线. 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值. 注：如图所示，角的正切线为，而且从图中可以看出： ，这就是说，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标. 三．三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 常见考点 考点一 画三角函数线 典例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】答案见解析. 【分析】 作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边（或终边的反向延长线）于T，则正弦线为PM，余弦线为OM，正切线为AT. 【详解】 解：（1）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （2）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （3）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （4）因为，所以角与角的终边相同，作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 变式1-1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解；（3）答案见详解；（4）答案见详解； 【分析】 作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边（或终边的反向延长线）于T，则正弦线为PM，余弦线为OM，正切线为AT. 【详解】 （1）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M， 过点作轴，交角的终边于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （2）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M， 过点作轴，交角的终边反向延长线于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （3）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M， 过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT； （4）因为，所以角与角的终边相同， 作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M， 过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示， 则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 变式1-2．画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值. 【答案】答案见解析 【分析】 根据三角函数线的定义，即可得到的正弦线、余弦线和正切线和函数值. 【详解】 根据三角函数线的定义，可得，，分别为正弦线、余弦线和正切线， 如图所示，其中，， . 变式1-3．作出的正弦线、余弦线和正切线. 【答案】作图见解析. 【分析】 作出单位圆，角的终边与单位圆交于点，过点作轴于点，角的终边的反向延长线交过且平行于轴的直线交于点，则为正弦线，为余弦线，为正切线 【详解】 解：如图所示， ，，. 【点睛】 此题考查三角函数的正弦线、余弦线和正切线，属于基础题. 考点二 利用三角函数线比较大小 典例2．如果、分别是角的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作出的正弦线和余弦线，可得出结论. 【详解】 作出的正弦线和余弦线，如下图所示： 由于，由图可知，． 故选：D. 变式2-1．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作出角的三角函数线，利用三角函数线进行比较即可． 【详解】 作出角的三角函数线如下图所示： 由图象知：，又，. 故选：B. 变式2-2．已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】