第11讲 空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练） 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 5．两平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直． 6．两平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 7．两平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 8.空间角 (1)直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]． (2)二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q． ②二面角的平面角 如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角． 9.垂直关系的转化 判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直 性质定理转化：面面垂直 用图形表示为： 同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即： 线线垂直线面垂直线线平行线面平行 考点一 : 垂直问题有关的命题判定 例1　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________． ①若m⊥n，n∥α，则m⊥α ②若m∥β，β⊥α则m⊥α ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 答案　③ 解析 选项①，②，④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选③. 变式训练 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是________． 答案　①④ 解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n. 解题要点 1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断. 2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断． 考点二 ： 线面垂直的判定与性质 例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE， ∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝CD， 而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，∴NEAM，∴四边形AMNE为平行四边形， ∴MN∥AE. 又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD. 而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°， ∴△PAD为等腰直角三角形． 又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D， ∴