第09讲 正方形-【寒假专用】2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列 平行四边形 第09讲：正方形 【考点梳理】 考点一：正方形的概念 一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。 正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。 考点二：正方形的性质 1: 正方形的四条边都相等,四个角都是直角 几何语言: 如图1,四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90° 2: 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分组对角 几何语言:如图2, 四边形ABCD是正方形,AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8. ∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为4×4=16 考点三：正方形的判定方法 (1)1：有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定) 几何语言: 如图1,∵四边形ABCD是矩形,AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形。 (2)2: 对角线互相垂直的矩形是正方形 几何语言: 如图2, ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD, ∴矩形ABCD是正方形。 (3)3: 有一个角是直角的菱形是正方形 几何语言: 如图3,∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°, ∴菱形ABCD是正方形。 (4)4: 对角线相等的菱形是正方形 几何语言: 如图4,∵四边形ABCD是菱形，AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形。 技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系 【题型归纳】 题型一：正方形的性质 1．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（　　） A． B． C．4 D． 2．（2021·浙江·临海市西湖双语实验学校八年级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2021·河北唐县·八年级期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ） A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．AG⊥BE D．∠AFB+∠BEC=90° 题型二：正方形的判定 4．（2021·河北顺平·八年级期末）下列说法中错误的是（ ） A．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5．（2021·河南长垣·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．下列说法错误的是（　　） A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 B．若AC=BD，四边形ABCD是矩形 C．若AB=BC且AC=BD，四边形ABCD是正方形 D．若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形 6．（2021·湖南雨花·八年级期中）如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：正方形的性质和判定综合问题 7．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，在正方形ABCD中，DF＝AE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数． 8．（2021·福建福州·八年级期末）如图1，E是▱ABCD边AB上的一点，连接CE，以CE为边作▱CEGF，使点D在线段GF上（不与端点重合）． （1）求证：∠CDF＝∠CEB； （2）如图2，连接AG，当点E是AB中点且AG＝AE时，求证：四边形CEGF是矩形； （3）在（2）的情况下，当AB＝AD且∠DAB＝90°时，判断线段DG和DF的数量关系，并证明． 9．（2021·江苏靖江·八年级期末）已知在正方形和正方形中，直线，交于点H． （1）如图1，当B，C，E共线时，求证：； （2）如图2，把正方形绕C点顺时针旋