第07讲 矩形-【寒假专用】2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列 平行四边形 第07讲：矩形 【考点梳理】 考点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图,在□ABCD中,如果∠A=90°,那么□ABCD就是矩形。 考点二：矩形的性质 1：矩形的四个角都是直角 几何语言：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 2：矩形的对角线相等 几何语言：如图, ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 技巧归纳： (1)矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质。 (2)矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。 (3)由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。 (4)矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形,所以也常用等腰三角形的性质解决问题。 考点三：直角三角形的一条重要性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：如图,在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线, ∴BD=1/2 AC 考点四：矩形的判定方法 1: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 (用定义判定) 几何语言: 如图,∵∠BAD=90°,四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 3: 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: 如图,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°,四边形ABCD是矩形。 【题型归纳】 题型一：矩形的性质问题 1．（2021·山东省青岛第六十三中学八年级期中）如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，那么AE长为（　　） A．5 B．12 C．5 D．13 2．（2021·山东昌乐·八年级期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（2021·湖南绥宁·八年级期末）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③S△AOE＝S△COE，其中正确结论有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：直角三角形斜边上的中线问题 4．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km 5．（2021·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，O为BC的中点，连接OD、OE，则∠DOE的度数为（ ） A．40° B．45° C．60° D．65° 6．（2021·天津津南·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 题型三：矩形的判定 7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 8．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（ ） A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm 9．（2021·山东曹县·八年级期中）如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A． B．平分 C． D． 题型四：矩形的性质和判定综合性问题 10．（2021·山东沂南·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求CG的长． 11．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在中，延长到点，使得，连接、 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求四边形的面积． 12