第02讲 二次根式的乘除-【寒假专用】2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教版）

2021-2022学年八年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列 第十六章 二次根式 第02讲：二次根式的乘除 【考点梳理】 考点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 考点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 考点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 考点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写为===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 考点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（2021·辽宁苏家屯·八年级期中）计算×﹣5的结果为（ ） A．3﹣5 B．2﹣5 C．6 D．1 2．（2021·河北唐县·八年级期末）计算的结果，估计在（ ） A．8与9之间 B．7与8之间 C．6与7之间 D．5与6之间 3．（2022··八年级）计算: （1） （2） （3） （4） 题型二：二次根式的除法 4．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（　　） A．3 B． C．2 D．4 5．（2021·重庆南开中学八年级期中）估计的值应在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（2022·全国·八年级）计算： （1）（2）（3）（4） 题型三：二次根式的乘除混算 7．（2021·上海市罗星中学八年级期中）化简：． 8．（2022·全国·八年级）计算：（1）4÷（﹣）×．（2）÷×． 9．（2022·全国·八年级）计算 （1）；（2）×；（3）3×÷2；（4）； 题型四：最简二次根式的判断 10．（2021·四川·成都新津为明学校八年级阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（2021·上海市罗星中学八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 12．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 题型五：化为最简二次根式问题 13．（2021·北京·八年级单元测试）把化成最简二次根式，正确结果是（ ）． A． B． C． D． 14．（2022·全国·八年级）将化简成最简二次根式为_________． 15．（2021·全国·八年级专题练习）化简 （1）（2） 题型六：已知最简二次根式求参数 16．（2021·辽宁·沈阳市育源中学八年级阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2021·河南息县·八年级期末）