新课衔接站02 二次根式的加减精讲精练-2021-2022学年八年级数学寒假学习精编讲义（人教版）

2021-2022学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义（同步讲练） 新课衔接站02二次根式的加减 1．可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数__________，则这样的欠根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用． 2．二次根式的加减 二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行__________． 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． 【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． 二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 合并二次根式 判断几个二次根式在加减运算中是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式． 考点1：二次根式的定义 【典例分析1】（2021秋•农安县期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】各式化为最简二次根式后，找出被开方数相同的即为同类二次根式． 【完整解答】解：A、原式＝，不符合题意； B、原式＝3，符合题意； C、原式＝，不符合题意； D、原式＝3，不符合题意． 故选：B． 【考察注意点】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 【变式1-1】（2020秋•平房区期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【思路引导】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． 【完整解答】解：∵最简二次根式和能合并， ∴，即， ①×2+②得：7a＝7， 解得：a＝1， 把a＝1代入②得：1+2b＝3， 解得：b＝1． 故选：D． 【考察注意点】此题考查了同类二次根式，解二元一次方程组，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 【变式1-2】（2020秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么3的值为　3　． 【思路引导】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答． 【完整解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a， 解得a＝1， 当a＝1时3＝3． 故答案为：3． 【考察注意点】本题考查最简二次根式的意义，解题关键是根据同类二次根式得到对应等式． 【变式1-3】（2021春•安徽期末）最简二次根式和是同类二次根式，则a＝　2　，b＝　0　． 【思路引导】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么他们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【完整解答】解：由最简二次根式和是同类二次根式，得 ， 解得， 故答案为：2，0． 【考察注意点】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 【变式1-4】（2018秋•卧龙区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2＝0的根． 【思路引导】利用同类二次根式定义求出x的值，代入方程计算即可求出m的值． 【完整解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数， ∴2x2﹣x＝4x﹣2，即2x2﹣5x+2＝0， 解得：x＝（舍去）或x＝2， 把x＝2代入方程得：2m2+2m﹣2＝0，即m2+m﹣1＝0， 解得：m＝． 【考察注意点】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 【变式1-5】（2017秋•江西期中）已知二次根式﹣． （1）求使