第1讲　概率、离散型随机变量及其分布列（讲）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材·新高考地区专用）

第1讲　概率、离散型随机变量及其分布列（讲·学生版） 高考定位 1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度. 2.考查离散型随机变量的分布列、均值、方差，常常和统计图表、概率、成对数据的分析以及函数、数列等知识结合在一起综合考查，主要以解答题的形式呈现，中高等难度． 核心整合 1．离散型随机变量的分布列和概率性质 设离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝————； (3)E(X)＝————————————————； (4)D(X)＝————————————————. 2．随机变量的数学期望与方差 (1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝————————． (2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝————————，D(η)＝————————． (3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 真题体验 1．（2021•全国高考甲卷文科）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 2.（2021•全国新高考Ⅰ卷）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 3.（2021•天津高考）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 4．（2021•浙江高考）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________. 5．（2021•全国新高考Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 能力突破 考点一　概率问题 命题角度1　古典概型 【例1—1】 1．（2021·广西南宁市高三月考）哥尼斯堡“七桥问题”是著名的古典数学问题，它描述的是:在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A直接相连的概率为（ ） A． B． C． D． 2.（2021·四川成都石室中学高三开学考试）《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ） A． B． C． D． 【规律方法】 古典概型求解的关键点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 命题角度2　条件概率 【例1—2】 1.（2021·江西高三三模）在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关.为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的名选手的闯关情况，第一关闯关