第19期 24.6正多边形与圆24.7弧长与扇形面积（答案见第21期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（沪科版 安徽专版）

书 上期２版 ２４．４直线与圆的位置关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｄ； ５．６６°；　６．３；　７．（２，－１）或（－２，－１）． ８．证明：因为ＯＣ＝ＯＢ，所以∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ．因为 ＡＢ是⊙Ｏ的切线，所以ＯＢ⊥ＡＢ．所以∠ＯＢＡ＝９０°．所 以∠ＡＢＰ＋∠ＯＢＣ＝９０°．因为ＯＣ⊥ＡＯ，所以∠ＡＯＣ＝ ９０°．所以∠ＯＣＢ＋∠ＣＰＯ＝９０°．因为∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＯ， 所以∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＰ．所以ＡＰ＝ＡＢ． ９．证明：连接ＯＤ，因为∠ＤＯＢ＝２∠Ａ＝６０°，所以 ∠ＯＤＢ＝１８０°－∠ＤＯＢ－∠Ｂ＝１８０°－６０°－３０°＝ ９０°，即ＯＤ⊥ＢＤ，所以直线ＢＤ与⊙Ｏ相切． 能力提高　１０．（１）证明：因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠Ａ ＝∠ＡＣＯ．因为∠ＰＣＢ＝∠Ａ，所以∠ＡＣＯ＝∠ＰＣＢ．因 为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＯ＋∠ＯＣＢ＝９０°．所以 ∠ＰＣＢ＋∠ＯＣＢ＝９０°，即ＯＣ⊥ＣＰ．因为ＯＣ是⊙Ｏ的 半径，所以直线ＰＣ是⊙Ｏ的切线． （２）因为ＣＰ＝ＣＡ，所以∠Ｐ＝∠Ａ．所以∠ＣＯＢ＝ ２∠Ａ＝２∠Ｐ．因为∠ＯＣＰ＝９０°，所以∠Ｐ＝３０°．因为 ＯＣ＝ＯＡ＝２，所以ＯＰ＝２ＯＣ＝４．所以ＣＰ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３． ２４．５三角形的内切圆 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ａ； ５．６８°；　６．４；　７．槡５；　８．１０． ９．（１）建立坐标系略，点Ｃ的坐标为（２，－１）． （２）略． （３）答案不惟一，如（－４，－１）． １０．结论：△ＡＢＣ为等腰三角形．理由如下： 因为△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ分别相切 于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，所以ＯＤ⊥ ＡＢ，ＯＥ⊥ ＢＣ，ＯＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｂ＋∠ＤＯＥ＝１８０°，∠Ｃ＋∠ＥＯＦ＝１８０°．又因为 ) ＤＥ ) ＝ＥＦ，所以 ∠ＤＯＥ＝∠ＥＯＦ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ．所以 △ＡＢＣ为等腰三角形． 能力提高　１１．（１）△ＡＢＣ的周长为２０． （２）∠ＦＭＥ的度数为５５°或１２５°． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．３＜ｒ≤６；　１０．２５°；　１１．２；　１２．１１５°； １３．２５；　１４．６． 三、１５．（１）如图１，ＭＮ即为所求． （２）如图２，ＰＤ，ＰＥ即为所求． １６．证明：连接ＯＡ，因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＡＯＣ＝ ２∠Ｂ＝１２０°．又因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝ ３０°．又因为ＡＰ＝ＡＣ，所以 ∠Ｐ＝∠ＡＣＰ＝３０°，所以 ∠ＯＡＰ＝∠ＡＯＣ－∠Ｐ＝９０°，所以ＯＡ⊥ＰＡ，所以ＰＡ是 ⊙Ｏ的切线． １７．设ＣＥ＝ｘｃｍ，因为ＡＥ，ＤＣ，ＡＢ与半圆相切，由 切线长定理可知ＥＦ＝ＥＣ＝ｘｃｍ，ＡＢ＝ＡＦ．因为ＣＤ＝ ４ｃｍ，所以 ＤＥ＝（４－ｘ）ｃｍ，ＡＥ＝ＡＦ＋ＥＦ＝（４＋ ｘ）ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ２＋ＤＥ２＝ＡＥ２，所以４２＋（４－ ｘ）２ ＝（４＋ｘ）２，解得ｘ＝１．所以ＤＥ＝３ｃｍ，所以Ｓ△ＡＤＥ ＝ １２×４×３＝６ｃｍ ２． １８．如图３，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于 点Ｄ．设最大圆的圆心为 Ｏ，半径为 ｒ，连接ＯＢ，ＯＣ．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＢＤ ＝ １２ＢＣ ＝３０．在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ＝ ＡＢ２－ＢＤ槡 ２ ＝ ４０．由Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＢＯＣ＋Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＡＯＢ，得 １ ２×６０×４０＝ １ ２×６０ｒ＋ １ ２×５０ｒ＋ １ ２×５０ｒ，解得ｒ＝１５．故从这块钢 板上截得的最大圆的半径为１５ｃｍ． 书 １９．（１）证明：如图４， 连接 ＯＣ．因为 ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，所以∠１＝∠２． 因为 ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠１＝∠３，所以 ∠２ ＝ ∠３，所以 ＯＣ∥ ＡＤ．因为 ＥＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，所以ＯＣ ⊥ＤＥ，所以ＡＤ⊥ＥＤ． （２）如图４，设 ＯＣ交 ＢＦ于Ｈ，因为 ＡＢ为直径， 所以∠ＡＦＢ＝９０°． 易得四边形 ＣＤＦＨ为 矩形，所以ＦＨ＝ＣＤ＝４， ∠ＣＨＦ＝９０°，所以 ＯＨ⊥ ＢＦ，所以ＢＨ＝ＦＨ＝４，所 以ＢＦ＝８．在Ｒｔ△ＡＢＦ中， ＡＢ ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝ ２２＋８槡 ２ ＝ 槡２ １７，所以 ⊙Ｏ的半径为槡１７． ２０．（１）因为 ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝ ９０°． 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾 股 定 理， 得 ＢＣ ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝ （槡２５）２－４槡 ２ ＝２．连接 ＢＥ，因为 ＯＥ⊥ ＡＢ，ＯＡ＝ ＯＢ，所以 ＡＥ＝ＢＥ．设 ＡＥ ＝ｘ，则ＢＥ＝ｘ，ＣＥ＝４－ ｘ，在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股 定理，得２２＋（４－ｘ）２ ＝ ｘ２，解得 ｘ＝ ５２．所以 ＡＥ ＝ ５２． （２）∠ＣＤＥ＝２∠Ａ．理 由如下： 连接 ＯＣ．因为 ＣＤ是 ⊙Ｏ的切线，所以 ＯＣ⊥