第10讲 平面向量的应用-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第10讲 平面向量的应用 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 掌握利用向量法解决平面几何中的垂 直、平行、长度、夹角、面积等问题. 2. 掌握利用向量法解决实际问题，如：力 的大小、速度、位移、做功等问题. 通过本节课的学习，要求能向量方法这一工具解决与平面几何、三角函数、物理学中的相关问题，使得问题的处理简便. ( 知识精讲 ) 知识点 一、向量在平面几何中的应用 1．利用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 2．向量在平面几何中常见的应用 已知． （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件： ． （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． （3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式： （其中为非零向量）． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 3．利用向量解决平面几何问题的步骤 （1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论． 二、向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象． 1．向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上． 2．向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标运算来处理． 3．向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，为和的夹角）． 动量实际上是数乘向量． 【即学即练1】设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）． A．相同的向量B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，而这三个向量的方向不同，起点不同，所以它们只有模长相等的一个条件成立. 【详解】是正的中心， 向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的， 是正三角形的中心， 到三个顶点的距离相等， 即，故选：B. 【即学即练2】．用力推动一物体水平运动，设与水平面的夹角为，则对物体所做的功为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用向量的数量积即可求得. 【详解】力对物体所做的功为.故选：D. 【即学即练3】物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ） A．3N B． C．2N D． 【答案】C 【分析】如图所示，，即得解. 【详解】 由题得,所以,所以, 所以,所以和大小相等，都为2.故选：C 【即学即练4】在中，，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又为钝角.则的形状是钝角三角形.故选：B 【即学即练5】如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 【分析】设=，=，=，=，=，根据向量加法得=+，=+， 计算2﹣2结合条件可得·=·，即可证明. 【详解】设=，=，=，=，=，则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC. 【即学即练6】已知，当实数m为何值时，为等腰三角形？ 【答案】 【