第09讲 平面向量数量积的坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第09讲 平面向量数量积的坐标表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 理解与掌握平面向量数量积的坐标表 示及数量积的坐标公式； 2. 掌握向量数量积坐标表示的相关运算 公式及运算定律； 3. 掌握平面两向量的垂直、共线的坐标表 示及判定方法与性质； 4.能利用平面向量的位置关系求待定参数，并能解决与数量积有关的计算、求值问题. 通过本节课的学习，要求掌握与平面向量数量积有关的计算、运算性质、运算定律，并能根据平面向量的平行、垂直等位置关系，进行向量数量积的有关求值与待定参数的解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点 1．平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量．由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有 ，由于为正交单位向量，故，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．平面向量的模的坐标表示 （1）平面向量的模的坐标公式 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）平面内两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． 3．平面向量垂直的坐标表示 已知非零向量，则． （如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为x1y2–x2y1=0） 4．平面向量夹角的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【即学即练1】已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出，再利用平面向量数量积的定义求出. 【详解】，， 由平面向量数量积的定义可得，解得，故选：B. 【即学即练2】．设向量，，如果向量与平行，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出与的坐标，根据两向量平行求出的值，即得解. 【详解】，所以. 所以.故选：D 【即学即练3】若向量，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【详解】，，，，， 设与夹角的余弦值为，，所以．故选：． 【即学即练4】已知向量，，且，那么t等于（ ） A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标运算列出方程，即可解出答案. 【详解】因为，，且，所以即，解得.故选：A 【即学即练5】已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ） A． B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可． 【详解】向量，＝（m，1），，可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1， 当m＝0时，＝（0，1），向量在方向上的投影为＝2， 当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），向量在方向上的投影为，故选：D． 【即学即练6】向量，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量共线和垂直的坐标关系可判断各选项的正误. 【详解】由已知可得，因为，则与不平行，A错； 因为，则与不垂直，B错； 因为，则与不平行，C错； 因为，故，D对.故选：D. 【即学即练7】已知向量， ，若则（ ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的数量积可得，再利用向量的坐标运算即得. 【详解】由向量，，，∴，所以， ∴，∴，即.故选：B 【即学即练8】在平面直角坐标系内，已知 ． （1）若，求证：为直角三角形； （2）若存在实数，使，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），． 【分析】（1）根据向量计算，即可得证；（2）根据向量的数乘计算即可求解. 【解析】（1），，, ,.为直角三角形 （2）由于，所以，则 解得，．所以，． 【即学即练9】已知、、为同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求；（2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可； （2）由与垂直，可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； 【解析】（1）∵，且，∴，∴，∴. （2）由与垂直，得，即∴. 【即学即练10】已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标． 【答案】. 【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】设，则， 因为与垂直，与平行，所以，解得， 所以点的坐标为. 【即学即练11】已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】 （1）或. （2）. 【分析】 （1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可