第08讲 平面向量数乘运算的坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第08讲 平面向量的数乘运算的坐标表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 掌握实数与向量的积的坐标运算法则 进行有关的运算． 2. 理解用坐标表示的平面向量共线的条 件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线. 通过本节课的学习，要求能掌握平面向量的数乘运算，并能解决与共线相关的线性运算及判断. ( 知识精讲 ) 知识点 1.平面向量运算的坐标运算 运算 坐标表示 和（差） 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）． 数乘 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数． 任一向量的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）． 2. 平面向量共线的坐标表示 （1）如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为x1y2–x2y1=0． a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0． 运用两向量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行； （2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解； （3）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为 （x2–x1）（y3–y1）–（x3–x1）（y2–y1）=0， 或（x2–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y2–y1）， 或（x3–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y3–y1）． 利用向量解决三点共线问题的思路： 先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线． 【即学即练1】如果向量，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由向量线性运算的坐标表示，即得解 【详解】 由题意， 故选：B 【即学即练2】若=(6，6)，=(5，7)，=(2，4)，则下列结论成立的是（ ） A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 【答案】C 【分析】 根据向量坐标表示的线性运算求出各选项中的向量，再根据向量共线的坐标表示即可得出答案. 【详解】 解：，因为，所以与不共线； ，因为，所以与不共线； ，因为，所以与共线； ，因为，所以与不共线. 故选：C. 【即学即练3】已知向量=(2，3)，=(-1，2)，若-2与非零向量m+n共线，则等于（ ） A．-2 B．2 C．- D． 【答案】C 【分析】 求出向量-2与向量m+n的坐标，然后根据向量共线的坐标表示列式计算即可. 【详解】 因为向量=(2，3)，=(-1，2)， 所以-2=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)，m+n=(2m-n，3m+2n). 因为-2与非零向量m+n共线， 所以， 解得14m=-7n，. 故选：C 【即学即练4】下列各组向量共线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用向量共线的坐标表示，逐一验证各选项即可判断作答. 【详解】 对于A，因，则，即与不共线； 对于B，因，则，即与不共线； 对于C，因，则，即与共线； 对于D，因，则，即与不共线. 故选：C 【即学即练5】已知向量，，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出向量的坐标，利用向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 因为，且，则，所以，， ， 因此，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【即学即练6】已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A．-8 B．-6 C．-1 D．6 【答案】C 【分析】 先求出，再解方程即得解. 【详解】 由题得， 因为， 所以. 故选：C 【即学即练7】以下与向量不平行的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量共线有，即可判断各选项中的向量是否与向量平行，进而可得不平行的向量. 【详解】 若且，则向量与向量平行， A：，即平行； B：，即平行； C：，即平行； D：不存在使，故不平行； 故选：D 【即学即练8】已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为（ ） A． B．－ C．3 D．－3 【答案】D 【分析】 先由向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，求得的坐标，再由∥求解. 【详解】 因为向量＝(3，－4)，＝(6，－3)， ∴＝(3，1)， ∵＝(2m，m＋1)，∥， ∴3m＋3＝2m，解得m＝－3， 故选：D. 【即学即练9】在平面直角坐标系xO