第6章 三角（新文化与压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第6章 三角（新文化与压轴30题专练） 一、单选题 1．（2021·上海·高一期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可. 【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而， ∴，， ∴当时，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值. 2．（2021·上海·高一课时练习）我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比，该三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，可得=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，利用余弦的二倍角公式可求解. 【详解】因为三角形底和腰之比为黄金分割比， 所以， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，正弦函数的定义，属于中档题. 3．（2021·上海·高一期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中，） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可. 【详解】如图所示，扇形的半径为， 所以扇形的面积为， 又三角形的面积为， 所以弧田的面积为， 又圆心到弦的距离等于，所示矢长为， 按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢， 所以两者的差为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 4．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）若，满足，，则的值是（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意可得和是方程 的两个实数解．再由 和的范围都是，，方程在，上只有一个解，可得，所以，由此求得的值． 【详解】解：， ，即． 再由，可得． 故和是方程 的两个实数解． 再由，，，，所以和的范围都是，， 因为函数在，上单调递增， 所以函数在，上单调递增， 故方程在，上只有一个解， 所以，，所以，所以． 故选：B． 5．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数取得最大值时，的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果. 【详解】，其中，， 当时，函数取得最大值，此时， ∴，， ∴ 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查了两角差的正弦公式的逆用，解题的关键是辅助角公式的应用与正弦函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 6．（2021·上海·高一课时练习）若，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可. 【详解】 ∵， ∴ 所以. 故选：B. 二、填空题 7．（2021·上海徐汇·高一期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为，则的值为________． 【答案】 【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为、，由勾股定理求出的值，进而可得的值，由两角差的正切公式即可求解. 【详解】设直角三角形的较小的直角边为，则较长的直角边为， 因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为， 每一个直角三角形中由勾股定理可得：， 即，解得或（舍）， 直角三角形较小的锐角为， 可得， 所以， 故答案为：. 8．（2021·