第07讲 函数的周期性和对称性的应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第07讲 函数的周期性和对称性的应用 第一关 知识梳理 知识点1 函数的周期性 1. 函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；） (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 3.周期性的应用 奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 知识点2 函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。 (2)函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。 2、不同函数对称性 (1)函数与的图像关于直线成轴对称。 (2)互为反函数的两个函数关于直线对称。 第二关 解题策略 第三关 典例精析 考点一 函数的周期性 ①周期性的应用 1、设函数f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x＋1，则f ＝________. 【解析】依题意得，f(2＋x)＝f(x)，则f ＝f ＝－＋1＝. 2、 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋ f(2 019)＝________. 【解析】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2， ∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010. 3、函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f 的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f ＝f ＝f ＝2××＝. ②函数的奇偶性与周期性的综合应用 4、已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且，则（ ） A．2019 B．3 C．－3 D．0 【解析】∵，∴，又∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0.故选：D. 5、已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，.若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意知：且，故. ∵，可得， ∴. 故选：D. 6、已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，2)时，f(x)＝-2x-1，则f(－2 021)＋f(2 022)＝（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】因为，故的周期为4， 所以， 而， 故， 故选：A. 7、若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．-2 【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，又在上的周期为2， ∴，， ∴.故选：D. 8、已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，故周期为，又函数是定义在上的奇函数，当时，，所以 故选：C. 9、已知定义在上的奇函数满足.当时，，则（ ） A． B． C． D．