精练10 三角恒等变换-备战2022年新高考数学选填题分层精练

精练10 三角恒等变换 基础练 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先根据同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，再利用诱导公式求解即可. 【详解】 将两边平方可得，则，. 故选：A 2．桔槔始见于《墨子･备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图1所示.桔槔的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点O处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点B处）绑上一块重石头，如图2所示，已知，，.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一端的石头下降经测量，，，当桶装满水时水与桶共重150，且当水桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为（ ）（由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有（等于水和桶的重力，等于石头的重力）.绳子的重量忽略不计，） A．400.5 B．419 C．439.2 D．445 【答案】C 【分析】 首先由两角差的余弦公式求出的长，然后根据公式直接求解即可. 【详解】 由题意，得，则， ∴（m）. 由，得，解得（N）， ∴当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为439.2N， 故选：C. 3．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 把看作一个整理，利用换元法，诱导公式和正弦的万能公式进行求解. 【详解】 依题意，，设，则，因为，故 故选：B. 4．若，则（ ） A．－5 B．－3 C．3 D．5 【答案】B 【分析】 利用诱导公式，再利用两角和差的正弦公式展开，然后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】 ∴ 故选：B 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 两式平方后作和，根据两角和差正弦公式可构造方程求得结果. 【详解】 由得：…①； 由得：…②； ①②得：， . 故选：C. 5．已知点为角终边上一点，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据三角函数的定义求出，进而结合二倍角公式将原式化简，最后得到答案. 【详解】 因为点在角的终边上，所以. 因为，所以， 所以，则，解得. 故选：C. 6．（多选题）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 利用诱导公式和逆用两角差的正弦公式可判定选项A；利用二倍角的余弦公式变形式可判定选项B；利用两角差的余弦公式可判定选项C；利用切化弦，辅助角公式和二倍角的正弦公式可判定选项D. 【详解】 因为， 故选项A错误； 因为， 故选项B错误； 因为， 所以， 故选项C正确； 因为， 所以， 故选项D正确； 故选：CD. 7．（多选题）在△中，，则的大小不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 将题干中两个式子平方后求和化简可得，结合，可得C＝或，又4sinB＝1－3cosA>0，可得cosA<<，则A>，分析即得解 【详解】 由， 两式平方和得 即 9＋16＋24sin(A＋B)＝37， 因而. 在△中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，且 因而C＝或， 又3cosA＋4sinB＝1化为4sinB＝1－3cosA>0， 所以cosA<<，则A>，故C＝ 故选：BCD 8．（多选题）设，，若，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据降幂公式和两角差的余弦公式，结合诱导公式逐一判断即可. 【详解】 因为，所以，因此有， 又因为，所以， ∴，即，因为，， 所以，即，因此， 所以有：，， ， 故选：ABD. 9．若锐角满足，则角的度数为________． 【答案】 【分析】 根据式子结构先化为，平方后切化弦，进行三角恒等变换即可求解. 【详解】 原式可化为 因为为锐角， 所以. 故答案为： 10．如图，一块斜边长为的直角三角尺，其中一个内角为，把该角立在桌面上，使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为，再绕其斜边旋转，则直角顶点到桌面距离的最大值为______. 【答案】 【分析】 由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大，即可求解. 【详解】 由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大， 如图所示：设顶点、在桌面上的投影分别为、，则、、三点共线， 设与的夹角为，则，解得：， 所以 ， 在中，，，所以， 则 ， 故答案为： 提升练 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案