精练07 导数的概念与运算-备战2022年新高考数学选填题分层精练

` 精练07 导数的概念与运算 基础练 1.设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由导函数的定义可得选项. 【详解】 解：因为为常数，所以， 故选：C. 2.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】 对求导得，根据已知有即可求，进而求. 【详解】 由，得， ∵当时，，解得， ∴， ∴当时，. 故选：C. 3.已知函数在上可导，函数，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】 利用复合函数求导法则运算即可. 【详解】 ∵，∴， ∴. 故选：B. 4.已知与曲线相切，则a的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】 根据题意设出切点坐标，进而对函数求导，然后根据导数的几何意义求得答案. 【详解】 由题意，设切点为，所以，，所以，所以，则. 故选：B. 5.已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作出函数的图象，由直线与函数图象有三个公共点，且要使得横坐标最大，可得最大的横坐标是过原点的直线与在上的切点横坐标，由导数的几何意义求解可得． 【详解】 如图，作出函数的图象，直线过原点，与函数图象有三个公共点，且横坐标最大，则如图所示，是直线与在上的切点的横坐标． ，则，所以． 故选：D． 6.（多选题）若函数的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】 由题意，可知若函数具有“T性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A，，满足条件； 对于B，，满足条件； 对于C，恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D，恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 7．（多选题）函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【详解】 由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立． 对于A，，则在时恒成立， 不符合题意，故选项A错误； 对于B，，则恒成立， 符合题意，故选项B正确； 对于C，，则在时恒成立， 符合题意，故选项C正确； 对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D错误. 故选：BC. 8．（多选题）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 首先根据条件构造函数，，根据得到在上单调递减，从而得到，再化简即可得到答案. 【详解】 由及，得. 设函数，， 则， 所以在上单调递减，从而， 即， 所以，，，. 故选：BD 9.写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________. ①在上单调递增；②；③曲线存在斜率为4的切线. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 由在上单调递增，知，曲线存在斜率为4的切线，则有解，知，故满足即可. 【详解】 函数满足在上单调递增，则恒成立，即 曲线存在斜率为4的切线，则有解，即 即满足，解得. 故答案为： 10.已知（，），其导函数为，设，则_____________. 【答案】 【分析】 利用导数的运算法则求，即可得f′(-2)，进而写出an的通项公式，即可求. 【详解】 由题设，f′(x)= (x+2)(x+3)…(x+n)+(x+1)(x+3)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n-1)， ∴f′(-2)=0+(-1)×1×…×(n-2)+0+…+0=-(n-2)!，f(0)=n!； ∴an=，则a10． 故答案为:． 提升练 1.已知，其中为函数的导数.则（ ） A．0 B．2 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】 求导计算得到，，代入数据得到答案. 【详解】 ， ； 则， ， . 故选：B. 2.若存在两个