10.1 两角和与差的三角函数（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.1 两角和与差的三角函数 课标要求 学习目标 ①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 ②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导，掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.掌握并能够运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式的逆运用解决化简问题。 知识精讲 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）。 【练一练】求下列各式的值： （1）； （2） （3） （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 二、公式的逆用和变形 1.逆用： 2.角的变换及应用： 3.公式变形： ； ；； ； 【练一练】利用两角和（差）的余弦公式化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 重点探究 【例1】已知，，其中都是锐角.求： （1）的值； （2） 的值. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）因，，且都是锐角，则有，， 所以. （2）由(1)可得：， 所以. 【例2】在△ABC中，内角､､的对边分别为､､，且. （1）求角的大小； （2）若，判断的形状. 【答案】（1） （2）等腰三角形 【分析】（1）因为， 所以，，即，， 因为，所以，故. （2）由，所以， 故由， 则，化简得， 即，所以， 又因为，所以， 所以△ABC是等腰三角形。 课堂练习 一、单选题 1．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 2．的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式.故选：A 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 4．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为（ ） A．sin 2x B．cos 2x C．－cos 2x D．－cos 2y 【答案】D 【解析】解：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选：D. 5．化简，得（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 6．下列等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据两角和与差的正、余弦公式有：； ；； ；故选：D. 7．若那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为 所以 ， 故选：B 8．若，且（其中），则（ ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【解析】因为，且， 所以， 所以， 即， 则. 故选：A 9．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ） A．3 B．－3 C． D． 【答案】C 【解析】解：tan(α－β)＝＝＝，故选：C. 10．已知，则（ ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】已知，则， .故选：C. 11．在△ABC中，已知，，则C的大小为（ ） A．90° B．45° C．135° D．60° 【答案】C 【解析】∵，， ∴， ∴， 又， ∴. 故选：C. 12．以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】由题意知：，而.故选：C. 二、填空题 13．___________. 【答案】 【解析】由 所以 又 故答案为：。 14．化简________． 【答案】 【解析】．故答案为：。 15．___________. 【答案】 【解析】 ， 故答案为：. 16．已知，，则的值为_______． 【答案】3 【解析】由题可得 所以 故答案为：3 17．若，是方程的两个根，则__________. 【答案】-1 【解析】由于，是方程的两个根， 所以， 所以.故答案为： 18．的值是___________. 【答案】1 【解析】解：.故答案为：1. 三、解答题 19．化简：cos(2α－β)cosβ＋sin(β－2α)sinβ. 【答案】cos2α 【解析】 ． 20．设O为坐标原点，和为单位圆上的两点，且，求证：. 【答案】证明见解析． 【解析】和为单位圆上的两点，， 又， 所以， 所以。 21．已知， ， ， ，求和. 【答案】， 【解析】解：由， ，得.由， ，得.所以， 。 22．证明： （1）； （2）. 【分析】（1）证明：（1） ； （2）证