9.3 向量基本定理及坐标表示（同步进阶训练）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3 向量基本定理及坐标表示 一、单项选择题 1．已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】解：只要两向量不共线便可作为基底，故对于A选项，，共线，不满足；对于B选项，，共线，不满足；对于C选项，共线，不满足；对于D选项，与不共线，故满足.故选：D. 2．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ） A．不可以表示平面内的所有向量； B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对； C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使； D．若存在实数使，则. 【答案】D 【解析】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确； 对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定， 那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误； 对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个， 或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误； 故选：D. 3．如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，又，， ∴，而共线， ∴，可得. 故选：C 4．设，向量，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量，，，则，解得，即， 所以. 故选：A 5．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且，E为AD上一点，若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 设，则，， 因为，所以， 解得， 由，得， 所以 解得， 所以. 故选：C. 6．设O为△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 7．已知△ABC的边的中点为D，点G为的中点，△GBC内一点P（P点不在△GBC边界上）满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为x轴，D为原点建立如图坐标系． 设，则， ， 由，有，故， ∵点P在△GBC内，∴即， 解得. 故选：A． 8．已知向量，则（ ） A． B．10 C． D．4 【答案】A 【解析】设， 所以． 因为， 所以 解得， 所以，所以． 故选：A 9．已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A．-8 B．-6 C．-1 D．6 【答案】C 【解析】由题得， 因为， 所以. 故选：C. 10．下列说法中错误的个数是（ ） （1）已知，，则与不能作为平面内所有向量的一组基底 （2）若与共线，则在方向上的投影数量为 （3）若两非零向量，满足，则与的夹角是 （4）已知，且与夹角为锐角，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对（1），因为，即两个向量平行，故正确；对（2），根据投影的定义，若与同向，则在方向上的投影数量为，反向为，故错误；对（3），设，则，所以，设与的夹角为，则，即，错误；对（4），由题意，，因为与夹角为锐角，所以且与不平行，所以且，错误.故选：C. 11．已知平面向量，，满足，，，若，则为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以， 又因为，所以，所以，故选：C. 12．若三点共线,则的值为 A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题：三点共线, ， 所以，， ， 所以. 故选：B。 二、填空题 13．在△ABC中，为的中点，点满足，若，则___________. 【答案】 【解析】在△ABC中，为的中点，所以. 因为，所以, 所以,即， 所以，所以. 故答案为：。 14．如图在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， ，AE与BF交于O点.若，且AE与BF不垂直，则__________. 【答案】 【解析】设， 所以，， ， 又， 所以， 所以， 则， 则，解得， 所以， 因为， 所以, 即， 因为AE与BF不垂直，所以， 所以，即. 故答案为：。 15．已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______． 【答案】 【解析】∵点P在延长线上，且， ∴， ∴即，又，， ∴. 故答案为：。 16．在边长为1的正三角形中，向量，，，，且，则的最大值为__． 【答案