9.3 向量基本定理及坐标表示（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3 向量基本定理及坐标表示 课标要求 学习目标 ①理解平面向量基本定理及其意义。 ②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. (2)平面内所有向量的一组基底. (3)向量夹角的概念. 2.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解的概念. (2)向量的坐标表示. 3平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示 4.平面向量共线的坐标表示. 知识精讲 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理如果，-是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2，使=1+2。 我们把两个不共线的向量，叫作这个平面的一组基底。 2.向量的正交分解 平面内任一向量可以用一组基底，表示成=1+2的形式。我们称1+2为向量的分解.当，所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 【拓展】 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为基底，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被，，唯一确定的数值。 (3)，是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，2=0；当与共线时，1=0；当= 时， 1=2=0。 (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量。 【练一练】如图，的对角线AC和BD交于点O，设，，试用基底，表示和． 【答案】，. 【解析】解：∵的对角线AC和BD交于点O，， ∴， ∴， 故，. 二、平面向量的坐标表示 如图1，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=.a+y=。 我们把有序实数对(x，y)称为向量的(直角)坐标，记作=(x,y)。 如图2，作 ，即有 =，则 的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)就是向量 的坐标。 显然，=(1，0)，=(0，1)， =(0，0)。 【练一练】设m，n为实数，若，，，，求m，n的值． 【答案】 【解析】∵，，，， ∴， ， ∴， ∴. 三、平面向量的坐标运算 1.向量线性运算的坐标表示 已知向量=(x1，y1)，=(x2，y2)和实数λ， 那么,，λ=(λx1，λy1)。 2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。 3.向量数量积的坐标表示 已知=(x1，y1)，=(x2，y2)，则·= 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 4.向量的模的坐标表示 (1)若=(x，y)，则 ，即 (2)对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式AB=。 5.向量夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(x1，y1)，=(x2，y2)，θ的是与的夹角，则 cosθ= 6.向量垂直的坐标表示 (1)设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则⊥ =0。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为坐标平面内的三个点，则 ==0。 7.向量平行的坐标表示 设向量=(x1，y1)，=(x2，y2)(≠)，则// 【练一练】设向量 （1）若向量 与向量 平行，求 的值； （2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值. 【答案】（1）；（2）1或. 【解析】（1）， 向量 与向量 平行， （2）因为 ， ， 因为 与 互相垂直，所以 ，       即 ， ，解得 或 . 重点探究 一、平面向量基本定理的应用 (1)由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，则平面内的任一向量都可用这个基底表示.因而可以简化向量的个数。 (2)坐标平面内的三点A，B，C共线存在三个均不为零的实数l，m，n，使且l+m+n=0.(其中0，A，B，C四点不共线)。 【例1】如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 【答案】证明见解析 【解析】因为三点共线，所以存在实数，使得 ， 又三点共线，所以存在实数，使得, 由于不共线，所以,解得. 故. 因为三点共线，所以存在实数，使得, 消去,得＋＝1. 二、平面向量坐标运算 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用。 (2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向